棱錐:三維多面體-中文百科頻道

概念

1、如下圖中的面ABCD就是棱錐的底面。

棱錐的側面：棱錐中除底面以外的各個面都叫做棱錐的側面。如圖中的面PAB、面PCD等都是棱錐的側面。

棱錐的側棱：相鄰側面的公共邊叫做棱錐的側棱。如圖中PA、PB等都是棱錐的側棱。

棱錐的頂點：棱錐中各個側面的公共頂點叫做棱錐的頂點。如圖中P是各個側面的公共頂點，P是棱錐的頂點。

棱錐的高：棱錐的頂點到底面的距離叫做棱錐的高。如圖中，若PO⊥底面ABCD，垂足是O，那麼PO就是棱錐的高。

棱錐的對角面：棱錐中過不相鄰的兩條側棱的截面叫做對角面。

2．棱錐的兩個特征棱錐是多面體中重要的一種，它有兩個本質特征：①有一個面是多邊形；②其餘的各面是有一個公共頂點的三角形，二者缺一不可。因此棱錐有一個面是多邊形，其餘各面都是三角形。但是也要注意“有一個面是多邊形，其餘各面都是三角形”的幾何體未必是棱錐。

3．棱錐的分類棱錐的底面可以是三角形、四邊形、五邊形……我們把這樣的棱錐分别叫做三棱錐、四棱錐、五棱錐。

4．正棱錐如果一個棱錐的底面是正多邊形，并且頂點在底面的射影是底面的中心，這樣的棱錐叫做正棱錐。如圖，若棱錐P－AC的底面是正多邊形，且PO底面AC，O為垂足，O是正多邊形的中心，則棱錐P－AC是正棱錐。（如圖）正棱錐的斜高：正棱錐側面等腰三角形底邊上的高，叫做正棱錐的斜高。

性質

1．棱錐截面性質定理及推論

定理：如果棱錐被平行于底面的平面所截，那麼所得的截面與底面相似，截面面積與底面面積的比等于頂點到截面距離與棱錐高的平方比。

推論1：如果棱錐被平行與底面的平面所截，則棱錐的側棱和高被截面分成的線段比相等。

推論2：如果棱錐被平行于底面的平面所截，則截得的小棱錐與已知原棱錐的側面積之比也等于它們對應高的平方比；截得的棱錐與已知棱錐的側面積之比也等于它們的底面積之比。

2．一些特殊棱錐的性質側棱長都相等的棱錐，它的頂點在底面内的射影是底面多邊形的外接圓的圓心（外心），同時側棱與底面所成的角都相等。側面與底面的交角都相等的棱錐，它的二面角都是銳二面角，所以頂點在底面内的射影在底多邊形的内部，并且它到各邊的距離相等即為底多邊形的内切圓的圓心（内心），且各側面上的斜高相等。如果側面與底面所成角為α，則有S底＝S側cosα。

3．棱錐的側面積及全面積、體積公式棱錐的側面積及全面積棱錐的側面展開圖是由各個側面組成的，展開圖的面積，就是棱錐的側面積，則S棱錐側＝S1＋S2＋…＋Sn（其中Si，i＝1，2…n為第i個側面的面積）

S全＝S棱錐側＋S底棱錐的體積

棱錐和圓錐統稱錐體，錐體的體積公式是：（s為錐體的底面積，h為錐體的高）。

4．正棱錐有下面一些性質正棱錐各側棱相等，各側面都是全等的等腰三角形，各等腰三角形底邊上的高相等（它叫做正棱錐的斜高）；正棱錐的高、斜高和斜高在底面内的射影組成一個直角三角形，正棱錐的高、側棱、側棱在底面内的射影也組成一個直角三角形。正棱錐的側棱與底面所成的角都相等；正棱錐的側面與底面所成的二面角都相等。

正棱錐的側面積：如果正棱錐的底面周長為c，斜高為h’，那麼它的側面積是s=1/2ch。

(1)各側棱交于一點且相等，各側面都是全等的等腰三角形。各等腰三角形底邊上的高相等，它叫做正棱錐的斜高。nn(2)多個特殊的直角三角形nna、相鄰兩側棱互相垂直的正三棱錐，由三垂線定理可得頂點在底面的射影為底面三角形的垂心。nnb、四面體中有三對異面直線，若有兩對互相垂直，則可得第三對也互相垂直。且頂點在底面的射影為底面三角形的垂心。