函數定義
一般的，如果兩個變量x,y之間的關系可以表示成y=k/x(k為常數，k≠0），其中k叫做反比例系數，x是自變量，y是自變量x的函數，x的取值範圍是不等于0的一切實數,且y也不能等于0。k>0時，圖像在一、三象限。k<0時，圖像在二、四象限.k的絕對值表示的是x與y的坐标形成的矩形的面積。
基本信息
表達式
x是自變量，y是因變量，y是x的函數
即：y等于k乘x的-1次方）
(k為常數且k≠0，x≠0）
自變量的取值範圍
1、在一般的情況下,自變量x的取值範圍可以是不等于0的任意實數；
2、函數y的取值範圍也是任意非零實數。
解析式
其中x是自變量，y是x的函數，其定義域是不等于0的一切實數，
即{x|x≠0,x∈R}。下面是一些常見的形式：y=k/x （k為常數(k≠0），x不等于0）
表達方式
y=k/x=k·1/x
xy=k
y=k·x^-1
其中k為常數，k不等于0
注意幾點
1、參數k≠0；
2、一般情況下,自變量x的取值範圍是x≠0的一切實數 ；
3、函數y的取值範圍也是一切非零實數 .
函數圖象
反比例函數的圖象屬于雙曲線,
曲線越來越接近X和Y軸但不會相交（K不等于0,自變量x的取值也不為了0）。
反比例函數的圖像屬于以原點為對稱中心的中心對稱的雙曲線（hyperbola）,反比例函數圖像中每一象限的每一支曲線會無限接近X軸Y軸但不會與坐标軸相交（y≠0）。
當k>0時，兩支曲線分别位于第一、三象限内；當k<0時，兩支曲線分别位于第二、四象限内，兩個分支無限接近x和y軸，但永遠不會與x軸和y軸相交.
函數性質
單調性
當k>0時，圖像分别位于第一、三象限，每一個象限内，從左往右，y随x的增大而減小；
當k<0時，圖像分别位于第二、四象限，每一個象限内，從左往右，y随x的增大而增大。
k>0時，函數在x<0上同為減函數、在x>0上同為減函數；k<0時，函數在x<0上為增函數、在x>0上同為增函數。
相交性
因為在y=k/x(k≠0)中，x不能為0，y也不能為0，所以反比例函數的圖像不可能與x軸相交，也不可能與y軸相交，隻能無限接近x軸，y軸。
面積
在一個反比例函數圖像上任取兩點，過點分别作x軸，y軸的平行線，與坐标軸圍成的矩形面積為|k| ，
反比例函數上一點向x、y軸分别作垂線，分别交于y軸和x軸，則QOWM的面積為k|，則連接該矩形的對角線即連接OM,則RT△OMQ的面積=½|k|。
圖像表達
反比例函數的圖像既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形，它有兩條對稱軸y=±x（即第一三，二四象限角平分線），對稱中心是坐标原點。
反比例函數圖像不與x軸和y軸相交的漸近線為：x軸與y軸。
k值相等的反比例函數圖像重合，k值不相等的反比例函數圖像永不相交。
|k|越大，反比例函數的圖像離坐标軸的距離越遠。
對稱性
反比例函數圖像是中心對稱圖形，對稱中心是原點；反比例函數的圖像也是軸對稱圖形，其對稱軸為y=x和y=-x；反比例函數圖像上的點關于坐标原點對稱。
圖像關于原點對稱。若設正比例函數y=mx與反比例函數交于A、B兩點（m、n同号），那麼A、B兩點關于原點對稱。
反比例函數關于正比例函數y=±x軸對稱,并且關于原點中心對稱。
與正比例函數交點
設在平面内有反比例函數和一次函數y=mx+n，要使它們有公共交點，則反比例減去一次函數為零。
應用舉例
例1，反比例函數的圖象上有一點P（m,n）其坐标是關于t的一元二次方程t2-3t+k=0的兩根，且P到原點的距離為根号13，求該反比例函數的解析式。
分析：
要求反比例函數解析式，就是要求出k，為此我們就需要列出一個關于k的方程。
解：∵m, n是關于t的方程t2-3t+k=0的兩根
∴ m+n=3，mn=k,
又 PO=根号13，
∴ m2+n2=13，
∴（m+n）2-2mn=13，
∴ 9-2k=13．
∴ k=-2
當 k=-2時，△=9+8＞0，
∴ k=-2符合條件，
例2，直線 與位于第二象限的雙曲線 相交于A、A1兩點，過其中一點A向x、y軸作垂線，垂足分别為B、C，矩形ABOC的面積為6，求：
1、直線與雙曲線的解析式；
2、點A、A1的坐标.
分析：矩形ABOC的邊AB和AC分别是A點到x軸和y軸的垂線段，
設A點坐标為（m,n），則AB=|n|, AC=|m|，
根據矩形的面積公式知|m·n|=6.
例3如圖，在 的圖象上有A、C兩點，分别向x軸引垂線，垂足分别為B、D，連結OC，OA，設OC與AB交于E，記△AOE的面積為S1，四邊形BDCE的面積為S2，試比較S1與S2的大小。
例4，已知函數。
1、當m為何值時，y是x的正比例函數。
2、當m為何值時，y是x的反比例函數。
解：正比例函數則x次數是1
(m-2)(m+1)=0
m=2,m=-1
系數不等于0
m-1≠0
所以m=2,m=-1。
2、反比例函數則x次數是-1。
m(m-1)=0
m=0,m=1
系數不等于0
m-1≠0
所以舍去m=1
因此m=0
例5，一矩形的面積為24，則該矩形的長x cm與寬y cm之間的關系是什麼?請寫出函數表達式，若要求矩形的各邊長均為整數，請畫出所有可能的的矩形。
解：面積xy=24
函數表達式(x>0)
矩形的各邊長均為整數。
可以取x=1，2，3，4，6，8，12，24
知識概念
概念理解
形如y=k/x(k為常數且k≠0)的函數，叫做反比例函數。
自變量x的取值範圍是不等于0的一切實數。
反比例函數圖像性質：反比例函數的圖像為雙曲線。
由于反比例函數屬于奇函數，有圖像關于原點對稱。
另外，從反比例函數的解析式可以得出，在反比例函數的圖像上任取一點，向兩個坐标軸作垂線，這點、兩個垂足及原點所圍成的矩形面積是定值，為∣k∣。
如圖，上面給出了k分别為正和負（2和-2）時的函數圖象。
當K>0時，反比例函數圖像經過一，三象限，是減函數
當K<0時，反比例函數圖像經過二，四象限，是增函數
反比例函數圖像隻能無限趨向于坐标軸，無法和坐标軸相交。
重點知識
過反比例函數圖象上任意一點作兩坐标軸的垂線段，這兩條垂線段與坐标軸圍成的矩形的面積為|k|。
對于雙曲線，若在分母上加減任意一個實數(m為常數)，就相當于将雙曲線圖象向左或右平移一個單位。
