定義
對于連續性，在自然界中有許多現象，如氣溫的變化，植物的生長等都是連續地變化着的。這種現象在函數關系上的反映，就是函數的連續性。
設函數在點的某個鄰域内有定義，如果有，則稱函數在點處連續，且稱 為函數的的連續點。
設函數在區間(a, b]内有定義，如果在 的左極限存在且等于，即，那麼就稱函數在點 b左連續。
設函數在區間(a, b]内有定義，如果 在處右極限存在且等于，即：，那麼就稱函數在點 a右連續。
一個函數在開區間内每點連續，則為在連續，若又在a 點右連續，b 點左連續，則在閉區間 連續，如果在整個定義域内連續，則稱為連續函數。
顯然，由極限的性質可知，一個函數在某點連續的充要條件是它在該點左右都連續。
等價定義
設變量x從它的一個初值x1變到終值x2，我們把叫做x在x1處的增量（或變化量）。注意增量可正可負。
同樣地，當自變量從x1變化到x2時，相應的函數值也發生變化。我們把叫做函數值的增量（或變化量）。
再來分析連續的定義。若令，則等價于，于是等價于。
而根據極限的定義，，當時，有
因此，得到函數連續的另一個定義：
這就是說，如果自變量在某一點處的增量趨于0時，對應函數值的增量也趨于0，就把f(x)稱作是在該點處連續的。
注意：在函數極限的定義中曾經強調過，當x→x0時f(x)有沒有極限，與f(x)在點x0處是否有定義并無關系。但由于函數在x0處連續，則表示f(x0)必定存在，顯然當Δx=0（即x=x0）時Δy=0<ε。于是上述推導過程中可以取消0<|Δx|這個條件。
間斷點
如果函數在點 處不連續，則稱在點處間斷，并把稱為的間斷點。
間斷有以下三種情況：
1.在點處 沒有定義，在為發散狀态（如圖，y=tanx在x=kπ+π/2處無定義，并且在x=kπ+π/2處發散到無窮大）；
2.在無定義，趨近與時連續波動（如圖，y=sin(1/x)在x=0處無定義，并且在0的某個去心鄰域内無限振蕩）；
3.雖然有定義，且存在，但不等于 （如圖，分段函數在x=0處的左右極限都存在，但不等于f(0)）。
法則
定理一在某點連續的有限個函數經有限次和、差、積、商（分母不為0） 運算，結果仍是一個在該點連續的函數。
定理二連續單調遞增 （遞減）函數的反函數，也連續單調遞增 （遞減）。
定理三連續函數的複合函數是連續的。
這些性質都可以從連續的定義以及極限的相關性質中得出。
連續函數
閉區間上的連續函數具有一些重要的性質，是數學分析的基礎，也是實數理論在函數中的直接體現。下面的性質都基于f(x)是[a,b]上的連續函數得出的結論。
有界性
閉區間上的連續函數在該區間上一定有界。
所謂有界是指，存在一個正數M，使得對于任意x∈[a,b]，都有|f(x)|≤M。
證明：利用緻密性定理：有界的數列必有收斂子數列。
反證法，假設f(x)在[a,b]上無上界，則對任意正數M，都存在一個x'∈[a,b]，使f(x')>M。
特别地，對于任意正整數n，都存在一個xn∈[a,b]，使f(xn)>n。
依次取n=1、2、3、……，得到一個數列{xn}⊂[a,b]。顯然，{xn}是有界的，則根據緻密性定理，存在一個收斂子列。記 ，由及數列極限的保不等式性可知，a≤x0≤b（即x0∈[a,b]）。
又由歸結原則和函數在點x0的連續性可知，
另一方面，由{xn}的選取方法可知，，于是當k→∞時，，矛盾！
所以假設不成立，f(x)在[a,b]上必有上界。
同理可證f(x)在[a,b]上必有下界，從而f(x)在[a,b]上有界[1] 。
最值性
閉區間上的連續函數在該區間上一定能取得最大值和最小值。
所謂最大值是指，[a,b]上存在一個點x0，使得對任意x∈[a,b]，都有f(x)≤f(x0)，則稱f(x0)為f(x)在[a,b]上的最大值。最小值可以同樣作定義，隻需把上面的不等号反向即可。
證明：利用确界原理：非空有上（下）界的點集必有上（下）确界。
由于已經證明了f(x)在[a,b]上有界，因此由确界原理可知，f(x)的值域f([a,b])必有上确界和下确界。
設f([a,b])的上确界為M，則必存在ξ∈[a,b]使f(ξ)=M
若不是這樣，根據上界的定義，對任意x∈[a,b]，都有f(x)
令，由連續函數的四則運算法則可知g(x)在[a,b]上是連續函數，故g(x)在[a,b]上有上界，設為G。則 。
整理該式子得，這與M是f([a,b])的上确界相矛盾，因此存在ξ∈[a,b]，使f(ξ)=M。由上确界的定義可知，M是f(x)的最大值。
同理可證f(x)有最小值。
介值性
若f(a)=A，f(b)=B，且A≠B。則對A、B之間的任意實數C，在開區間(a,b)上至少有一點c，使f(c)=C。
這個性質又被稱作介值定理，其包含了兩種特殊情況：
（1）零點定理。
也就是當f(x)在兩端點處的函數值A、B異号時（此時有0在A和B之間），在開區間(a,b)上必存在至少一點ξ，使f(ξ)=0。
（2）閉區間上的連續函數在該區間上必定取得最大值和最小值之間的一切數值。
也就是設f(x)在[a,b]上的最大值、最小值分别為M、m（M≠m），并且f(x1)=M，f(x2)=m，x1、x2∈[a,b]。在閉區間[x1,x2]或[x2,x1]上使用介值定理即可。
證明：零點定理可以利用閉區間套定理：如果{[an,bn]}是一個閉區間套，那麼存在唯一實數ξ屬于所有的閉區間。詳細證法參考相應詞條。
介值定理可以構造輔助函數來證明。
令g(x)=f(x)-C，其中C是A和B之間的任一實數，則g(x)在[a,b]上連續。
不妨設A
對于B
一緻連續性
閉區間上的連續函數在該區間上一緻連續。
所謂一緻連續是指，對任意ε>0（無論其多麼小），總存在正數δ，當區間I上任意兩個數x1、x2滿足|x1-x2|<δ時，有|f(x1)-f(x2)|<ε，就稱f(x)在I上是一緻連續的。
證明：利用有限覆蓋定理：如果H是閉區間[a,b]的一個無限開覆蓋，那麼能從H中選擇有限個開區間來覆蓋[a,b]。詳細證法參考相應詞條。
反函數連續性
如果函數f在其定義域D上嚴格單調且連續，那麼其反函數f-1也在其定義域f(D)（即f的值域）上嚴格單調且連續。
證明：嚴格單調函數必定有嚴格單調反函數，并且單調性相同（證法參考反函數詞條），因此隻要證明反函數也在其定義域上連續即可。
設f是定義在D上的嚴格單增的函數（嚴格單減同理）。作輔助函數g(x)=x，顯然g(x)的反函數就是它本身。
由于g(x)在R上是連續的，因此它在D上也是連續的。
①若D是開區間，設x0是D上任意一點，由g(x)的連續性可知，對任意ε>0，存在δ>0，使得當|x-x0|<δ時，|g(x)-g(x0)|<ε。即|x-x0|<ε。
于是可取區間(x0-δ,x0+δ)上滿足x1
設y1、y2、y0是x1、x2、x0對應的值，由f的單調性可知y1
不妨設δ’=min{y0-y1,y2-y0}=y0-y1，（等于y2-y0同理），則當|y-y0|<δ‘，即y0-δ’=y1
根據上述分析，當x1
②若D是半開半閉區間，不妨設D=[a,b)，D’=(a,b)，則f-1在f(D')上連續，因此隻要證f-1在f(a)處也連續即可得到f-1在D上連續。
∵g(x)在x=a處右連續
∴對任意ε>0，存在δ>0，使得當a
可取區間(a,a+δ)上滿足a
設f(a)、y1、y0是a、x1、x0對應的值，由f的單調性可知f(a)
不妨設δ’=min{y0-a,y1-y0}=y0-a，（等于y1-y0同理），則當f(a)
據上述分析，當a
同理可證若D=(a,b]時，f-1在f(D)上連續。
③若D是閉區間，則根據①和②，f-1在D的左右端點以及D的内部都連續，從而f-1在D上連續。
定理得證。
