猜想提出
1742年，哥德巴赫給歐拉的信中提出了以下猜想：任一大于2的整數都可寫成三個質數之和。但是哥德巴赫自己無法證明它，于是就寫信請教赫赫有名的大數學家歐拉幫忙證明，然而一直到死，歐拉也無法證明。
因現今數學界已經不使用“1也是素數”這個約定，哥德巴赫猜想的現代陳述為：任一大于5的整數都可寫成兩個質數之和。(n>5：當n為偶數，n=2+(n-2)，n-2也是偶數，可以分解為兩個質數的和；當n為奇數，n=3+(n-3)，n-3也是偶數，可以分解為兩個質數的和)。歐拉在回信中也提出另一等價版本，即任一大于2的偶數都可寫成兩個質數之和。把命題"任一充分大的偶數都可以表示成為一個素因子個數不超過a的個數與另一個素因子不超過b的個數之和"記作"a+b"。1966年陳景潤證明了"1+2"成立，即"任一充分大的偶數都可以表示成二個素數的和，或是一個素數和一個半素數的和"。
今日常見的猜想陳述為歐拉的版本，即任一大于2的偶數都可寫成兩個素數之和，亦稱為“強哥德巴赫猜想”或“關于偶數的哥德巴赫猜想”。
從關于偶數的哥德巴赫猜想，可推出：任何一個大于7的奇數都能被表示成三個奇質數的和。後者稱為“弱哥德巴赫猜想”或“關于奇數的哥德巴赫猜想”。若關于偶數的哥德巴赫猜想是對的，則關于奇數的哥德巴赫猜想也會是對的。2013年5月，巴黎高等師範學院研究員哈洛德·賀歐夫各特發表了兩篇論文，宣布徹底證明了弱哥德巴赫猜想。
研究途徑
研究偶數的哥德巴赫猜想的四個途徑。這四個途徑分别是：殆素數，例外集合，小變量的三素數定理以及幾乎哥德巴赫問題。
殆素數
殆素數就是素因子個數不多的正整數。現設N是偶數，雖然不能證明N是兩個素數之和，但足以證明它能夠寫成兩個殆素數的和，即N=A+B，其中A和B的素因子個數都不太多，譬如說素因子個數不超過10。用“a+b”來表示如下命題：每個大偶數N都可表為A+B，其中A和B的素因子個數分别不超過a和b。顯然，哥德巴赫猜想就可以寫成"1+1"。在這一方向上的進展都是用所謂的篩法得到的。
“a + b”問題的推進
1920年，挪威的布朗證明了“9 + 9”。
1924年，德國的拉特馬赫證明了“7 + 7”。
1932年，英國的埃斯特曼證明了“6 + 6”。
1937年，意大利的蕾西先後證明了“5 + 7”, “4 + 9”, “3 + 15”和“2 + 366”。
1938年，蘇聯的布赫夕太勃證明了“5 + 5”。
1940年，蘇聯的布赫夕太勃證明了“4 + 4”。
1956年，中國的王元證明了“3 + 4”。稍後證明了 “3 + 3”和“2 + 3”。
1948年，匈牙利的瑞尼證明了“1+ c”，其中c是一很大的自然數。
1962年，中國的潘承洞和蘇聯的巴爾巴恩證明了“1 + 5”， 中國的王元證明了“1 + 4”。
1965年，蘇聯的布赫 夕太勃和小維諾格拉多夫，及意大利的朋比利證明了“1 + 3 ”。
1966年，中國的陳景潤證明了 “1 + 2 ”。
例外集合
在數軸上取定大整數x，再從x往前看，尋找使得哥德巴赫猜想不成立的那些偶數，即例外偶數。x之前所有例外偶數的個數記為E(x)。我們希望，無論x多大，x之前隻有一個例外偶數，那就是2，即隻有2使得猜想是錯的。這樣一來，哥德巴赫猜想就等價于E(x)永遠等于1。當然，還不能證明E(x)=1；但是能夠證明E(x)遠比x小。在x前面的偶數個數大概是x/2；如果當x趨于無窮大時，E(x)與x的比值趨于零，那就說明這些例外偶數密度是零，即哥德巴赫猜想對于幾乎所有的偶數成立。這就是例外集合的思路。
維諾格拉多夫的三素數定理發表于1937年。第二年，在例外集合這一途徑上，就同時出現了四個證明，其中包括華羅庚先生的著名定理。
業餘搞哥德巴赫猜想的人中不乏有人聲稱“證明”了哥德巴赫猜想在概率意義下是對的。實際上他們就是“證明”了例外偶數是零密度。這個結論華羅庚早在60年前就已真正證明出來。
三素數定理
我們可以把這個問題反過來思考：如果偶數的哥德巴赫猜想正确，那麼奇數的猜想也正确。已知奇數N可以表成三個素數之和，假如又能證明這三個素數中有一個非常小，譬如說第一個素數可以總取3，那麼我們也就證明了偶數的哥德巴赫猜想。這個思想促使潘承洞先生在1959年，25歲時，研究有一個小素變數的三素數定理。這個小素變數不超過N的θ次方。我們的目标是要證明θ可以取0，即這個小素變數有界，從而推出偶數的哥德巴赫猜想。潘承洞先生首先證明θ可取1/4。後來的很長一段時間内，這方面的工作一直沒有進展，直到1995年展濤教授把潘老師的定理推進到7/120。這個數已經比較小了，但是仍然大于0。
幾乎哥德巴赫問題
1953年，林尼克發表了一篇長達70頁的論文。在文中，他率先研究了幾乎哥德巴赫問題，證明了，存在一個固定的非負整數k，使得任何大偶數都能寫成兩個素數與k個2的方幂之和。這個定理，看起來好像醜化了哥德巴赫猜想，實際上它是非常深刻的。我們注意，能寫成k個2的方幂之和的整數構成一個非常稀疏的集合；事實上，對任意取定的x，x前面這種整數的個數不會超過log x的k次方。因此，林尼克定理指出，雖然我們還不能證明哥德巴赫猜想，但是我們能在整數集合中找到一個非常稀疏的子集，每次從這個稀疏子集裡面拿一個元素貼到這兩個素數的表達式中去，這個表達式就成立。這裡的k用來衡量幾乎哥德巴赫問題向哥德巴赫猜想逼近的程度，數值較小的k表示更好的逼近度。顯然，如果k等于0，幾乎哥德巴赫問題中2的方幂就不再出現，從而，林尼克的定理就是哥德巴赫猜想。
林尼克1953年的論文并沒有具體定出k的可容許數值，此後四十多年間，人們還是不知道一個多大的k才能使林尼克定理成立。但是按照林尼克的論證，這個k應該很大。1999年，作者與廖明哲及王天澤兩位教授合作，首次定出k的可容許值54000。這第一個可容許值後來被不斷改進。其中有兩個結果必須提到，即李紅澤、王天澤獨立地得到k=2000。最好的結果k=13是英國數學家希思-布朗(D. R. Heath-Brown)和德國數學家普赫塔(Puchta)合作取得的，這是一個很大的突破。
研究曆史
華羅庚是中國最早從事哥德巴赫猜想的數學家。1936～1938年，他赴英留學，師從哈代研究數論，并開始研究哥德巴赫猜想，驗證了對于幾乎所有的偶數猜想。
1952年，他在中國科學院數學研究所組織并領導了“哥德巴赫猜想讨論班”，開始對這個世界難題的攻堅戰，并取得了重要的進展。參加讨論班的學生，例如王元、潘承洞和陳景潤等在哥德巴赫猜想的證明上都取得了相當好的成績。但是最後一步卻是異常的艱難。
1956年，王元證明了“3+4”；同年，原蘇聯數學家阿·維諾格拉朵夫證明了“3+3”；1957年，王元又證明了“2+3”；潘承洞于1962年證明了“1+5”；1963年，潘承洞、巴爾巴恩與王元又都證明了“1+4”；1966年，陳景潤在對篩法作了新的重要改進後，證明了“1+2”，即他證明了任何一個充分大的偶數，都可以表示為兩個數之和，其中一個是素數，另一個或為素數，或為兩個素數的乘積，被稱為“陳氏定理”。
