虛數:數學上的一種概念-中文百科頻道

含義

介紹虛數可以指以下含義：

(1)unreliable figure：虛假不實的數字。

(2)imaginary part：虛部（複數中a+bi，b叫虛部，a叫實部）。

(3)imaginary number：數學名詞——虛數。

(4)漢語中不表明具體數量的詞。

如果有數平方是負數的話，那個數就是虛數了；所有的虛數都是複數。“虛數”這個名詞是17世紀著名數學家笛卡爾創制，因為當時的觀念認為這是真實不存在的數字。後來發現虛數可對應平面上的縱軸，與對應平面上橫軸的實數同樣真實。虛數軸和實數軸構成的平面稱複數平面，複平面上每一點對應着一個複數。

在數學裡，如果有數平方是負數的話，那個數就是虛數了；所有的虛數都是複數。“虛數”這個名詞是17世紀著名數學家笛卡爾創制，因為當時的觀念認為這是真實不存在的數字。後來發現虛數可對應平面上的縱軸，與對應平面上橫軸的實數同樣真實。虛數軸和實數軸構成的平面稱複數平面，複平面上每一點對應着一個複數。

公式

三角函數

sin(a+bi)=sinacosbi+sinbicosa

=sinachb+ishbcosa

cos(a-bi)=cosacosbi+sinbisina

=cosachb+ishbsina

tan(a+bi)=sin(a+bi)/cos(a+bi)

cot(a+bi)=cos(a+bi)/sin(a+bi)

sec(a+bi)=1/cos(a+bi)

csc(a+bi)=1/sin(a+bi)

四則運算

(a+bi)±(c+di)=(a±c)+(b±d)i

(a+bi)(c+di）=(ac-bd)+(ad+bc)i

(a+bi)/(c+di)=(ac+bd)/(c²+d²)+(bc-ad)/(c²+d²)i

r1(isina+cosa)r2(isinb+cosb)=r1r2(cos(a+b)+isin(a+b)

r1(isina+cosa）/r2(isinb+cosb)=r1/r2(cos(a-b)+isin(a-b))

r(isina+cosa)n=r^n(isinna+cosna)

共轭複數

_(a+bi)=a-bi

_(z1+z2)=_z1+_z2

_(z1-z2)=_z1-_z2

_(z1z2)=_z1_z2

_(zn)=(_z)n

_z1/z2=_z1/_z2

_zz=|z|²∈R

乘方

zm·zn=zm+n

zm/zn=zm-n

(zm)n=zmn

z1m·z2m=(z1z2)m

(zm)1/n=zm/n

z·z·z…·z（n個）=zn

z1n=z2-->z2=z11/n

logai(x)=ln(x)/[ iπ/2+ lna]

xai+b=xai·xb= xb[cosln(xa) + i sinln(xa). ]

數學中虛數

在數學裡，将偶指數幂是負數的數定義為純虛數。所有的虛數都是複數。定義為i²=-1。但是虛數是沒有算術根這一說的，所以±√(-1)=±i。對于z=a+bi,也可以表示為e的iA次方的形式，其中e是常數，i為虛數單位，A為虛數的幅角，即可表示為z=cosA+isinA。實數和虛數組成的一對數在複數範圍内看成一個數，起名為複數。虛數沒有正負可言。不是實數的複數，即使是純虛數，也不能比較大小。

這種數有一個專門的符号“i”(imaginary)，它稱為虛數單位。不過在電子等行業中，因為i通常用來表示電流，所以虛數單位用j來表示。

實際意義

我們可以在平面直角坐标系中畫出虛數系統。如果利用橫軸表示全體實數，那麼縱軸即可表示虛數。整個平面上每一點對應着一個複數，稱為複平面。橫軸和縱軸也改稱為實

軸和虛軸。在此時，一點P坐标為P （a，bi），将坐标乘上i即點繞圓心逆時針旋轉90度。不能滿足于上述圖像解釋的同學或學者可參考以下題目和說明：若存在一個數，它的倒數等于它的相反數（或者它的倒數的相反數為其自身），這個數是什麼形式？

根據這一要求，可以給出如下方程：

若存在一個數，它的倒數等于它的相反數（或者它的倒數的相反數為其自身），這個數是什麼形式？

根據這一要求，可以給出如下方程：

-x = (1/x)

不難得知，這個方程的解x=i （虛數單位）

由此，若有代數式 t'=ti，我們将i理解為從t的單位到t'的單位之間的轉換單位，則t'=ti将被理解為

-t' = 1/t

即

t' = - 1/t

這一表達式在幾何空間上的意義不大，但若配合狹義相對論，在時間上理解，則可以解釋若相對運動速度可以大于光速c，相對時間間隔産生的虛數值，實質上是其實數值的負倒數。也就是所謂回到過去的時間間隔數值可以由此計算出來。

虛數成為微晶片和數字壓縮算法設計中的核心工具，虛數是引發電子學革命的量子力學的理論基礎。

起源

要追溯虛數出現的軌迹，就要聯系與它相對實數的出現過程。我們知道，實數是與虛數相對應的，它包括有理數和無理數，也就是說它是實實在在存在的數。

有理數出現的非常早，它是伴随人們的生産實踐而産生的。

無理數的發現，應該歸功于古希臘畢達哥拉斯學派。無理數的出現，與德谟克利特的“原子論”發生矛盾。根據這一理論，任何兩個線段的比，不過是它們所含原子數目的經。而勾股定理卻說明了存在着不可通約的線段。

不可通約線段的存在，使古希臘的數學家感到左右為難，因為他們的學說中隻有整數和分數的概念，他們不能完全表示正方形對角線與邊長的比，也就是說，在他們那裡，正方形對角線與邊長的比不能用任何“數”來表示。西亞他們已經發現了無理數這個問題，但是卻又讓它從自己的身邊悄悄溜走了，甚至到了希臘最偉大的代數學家丢番圖那裡，方程的無理數解仍然被稱為是“不可能的”。

“虛數”這個名詞是17世紀著名數學家、哲學家笛卡爾創制，因為當時的觀念認為這是真實不存在的數字。後來發現虛數可對應平面上的縱軸，與對應平面上橫軸的實數同樣真實。

人們發現即使使用全部的有理數和無理數，也不能解決代數方程的求解問題。像x²+1=0這樣最簡單的二次方程，在實數範圍内沒有解。12世紀的印度大數學家婆什伽羅都認為這個方程是沒有解的。他認為正數的平方是正數，負數的平方也是正數，因此，一個正數的平方根是兩重的；一個正數和一個負數，負數沒有平方根，因此負數不是平方數。這等于不承認方程的負數平方根的存在。

到了16世紀，意大利數學家卡爾達諾在其著作《大術》（《數學大典》）中，把記為1545R15-15m這是最早的虛數記号。但他認為這僅僅是個形式表示而已。1637年法國數學家笛卡爾，在其《幾何學》中第一次給出“虛數”的名稱，并和“實數”相對應。

1545年意大利米蘭的卡爾達諾發表了文藝複興時期最重要的一部代數學著作，提出了一種求解一般三次方程的求解公式：

形如：x3+ax+b=0的三次方程解如下：

x={(-b/2)+[(b2)/4+(a3)/27]1/2}1/3+{(-b/2)-[(b2)/4+(a3)/27]1/2}1/3

當卡丹試圖用該公式解方程x3-15x-4=0時他的解是：x=[2+(-121)^(1/2)]^(1/3)+[2-(-121)^(1/2)]^(1/3)

在那個年代負數本身就是令人懷疑的，負數的平方根就更加荒謬了。因此卡丹的公式給出x=(2+j)+(2-j)=4。容易證明x=4确實是原方程的根，但卡丹不曾熱心解釋(-121)1/2的出現。認為是“不可捉摸而無用的東西”。

直到19世紀初，高斯系統地使用了i這個符号，并主張用數偶（a、b）來表示a+bi，稱為複數，虛數才逐步得以通行。

由于虛數闖進數的領域時，人們對它的實際用處一無所知，在實際生活中似乎沒有用複數來表達的量，因此在很長一段時間裡，人們對它産生過種種懷疑和誤解。笛卡爾稱“虛數”的本意就是指它是虛假的；萊布尼茲則認為：“虛數是美妙而奇異的神靈隐蔽所，它幾乎是既存在又不存在的兩栖物。”歐拉盡管在許多地方用了虛數，但又說：“一切形如,√-1，√-2的數學式子都是不可能有的，想象的數，因為它們所表示的是負數的平方根。對于這類數，我們隻能斷言，它們既不是什麼都不是，也不比什麼都不是多些什麼，更不比什麼都不是少些什麼，它們純屬虛幻。”

繼歐拉之後，挪威測量學家維塞爾提出把複數（a+bi）用平面上的點來表示。後來高斯又提出了複平面的概念，終于使複數有了立足之地，也為複數的應用開辟了道路。現在，複數一般用來表示向量（有方向的量），這在水利學、地圖學、航空學中的應用十分廣泛，虛數越來越顯示出其豐富的内容。