數學定義
概念
1÷0.618≈1.618或（1-0.618）÷0.618≈0.618或1÷﹙1+0.618﹚≈0.6185或5開平方根之後減一的差除以二。
證明
黃金分割點是指分一線段為兩部分，使得原來線段的長跟較長的那部分的比為黃金分割的點。線段上有兩個這樣的點。
利用線段上的兩個黃金分割點，可以作出正五角星，正五邊形等。
設一條線段AB的長度為a，C點在靠近B點的黃金分割點上且AC為b，
發展簡史
黃金分割最早記錄在公元前6世紀，關于黃金分割比例的起源大多認為來自畢達哥拉斯學派。公元前4世紀，古希臘數學家歐多克索斯第一個系統研究了這一問題，并建立起比例理論。公元前300年左右歐幾裡得吸收了歐多克索斯的研究成果，進一步系統論述了黃金分割，其《幾何原本》成為最早的有關黃金分割的論着。
其實有關"黃金分割"，中國也有記載。雖然沒有古希臘的早，但它是中國古代數學家獨立創造的，後來傳入了印度。經考證。歐洲的比例算法是源于中國而經過印度由阿拉伯傳入歐洲的，而不是直接從古希臘傳入的。
美學應用
美感
它在造型藝術中具有美學價值，在工藝美術和日用品的比例設計中，采用這一比值能夠引起人們的美感，在實際生活中的應用也非常廣泛，建築物中某些線段的比就科學采用了黃金分割，舞台上的報幕員并不是站在舞台的正中央，而是偏在台上一側。以站在舞台長度的黃金分割點的位置最美觀，聲音傳播的最好。就連植物界也有采用黃金分割的地方，如果從一棵嫩枝的頂端向下看，就會看到葉子是按照黃金分割的規律排列着的。在很多科學實驗中，選取方案常用一種0.618法，即優選法，它可以使我們合理地安排較少的試驗次數找到合理的配方和合适的工藝條件。正因為它在建築、文藝、工農業生産和科學實驗中有着廣泛而重要的應用，所以人們才珍貴地稱它為“黃金分割”。
藝術創作
黃金分割〔GoldenSection〕是一種數學上的比例關系。黃金分割具有嚴格的比例性、藝術性、和諧性，蘊藏着豐富的美學價值。應用時一般取0.618，就像圓周率在應用時取3.14一樣。高雅的藝術殿堂裡，自然也留下了黃金數的足迹。人們還發現，一些名畫、雕塑、攝影作品的主題，大多在畫面的0.618處。藝術家們認為弦樂器的琴馬放在琴弦的0.618處，能使琴聲更加柔和甜美。
黃金矩形(GoldenRectangle）的長寬之比為黃金分割率，換言之，矩形的長邊為短邊1.618倍。黃金分割率和黃金矩形能夠給畫面帶來美感，令人愉悅。在很多藝術品以及大自然中都能找到它。希臘雅典的巴特農神廟就是一個很好的例子，達·芬奇的《維特魯威人》符合黃金矩形。《蒙娜麗莎》中蒙娜麗莎的臉也符合黃金矩形，《最後的晚餐》同樣也應用了該比例布局。
畫家們發現，按0.618:1來設計腿長與身高的比例，畫出的人體身材最優美，而現今的女性，腰身以下的長度平均隻占身高的0.58，因此古希臘維納斯女神塑像及太陽神阿波羅的形象都通過故意延長雙腿，使之與身高的比值為0.618，從而創造藝術美。難怪許多姑娘都願意穿上高跟鞋，而芭蕾舞演員則在翩翩起舞時，不時地踮起腳尖。音樂家發現，二胡演奏中，“千金”分弦的比符合0.618∶1時，奏出來的音調最和諧、最悅耳。
建築藝術
黃金分割被認為是建築和藝術中最理想的比例。建築師們對數字0.618特别偏愛，無論是古埃及的金字塔，還是巴黎的聖母院，或者是近世紀的法國埃菲爾鐵塔，都有與0.618有關的數據。黃金分割與大多數門窗的寬長之比也是0.618；還有，在古希臘神廟的設計中就用到了黃金分割。
人體美學
黃金分割與人的關系相當密切。地球表面的緯度範圍是0—90°，對其進行黃金分割，則34.38°—55.62°正是地球的黃金地帶。無論從平均氣溫、年日照時數、年降水量、相對濕度等方面都是具備适于人類生活的最佳地區。說來也巧，這一地區幾乎囊括了世界上所有的發達國家。
人體美學觀察受到種族、社會、個人各方面因素的影響，牽涉到形體與精神、局部與整體的辯證統一，隻有整體的和諧、比例協調，才能稱得上一種完整的美。
黃金分割是公元前六世紀古希臘數學家畢達哥拉斯所發現，這其實是一個數字的比例關系，即把一條線分為兩部分，此時長段與短段之比恰恰等于整條線與長段之比，其數值比為1.618:1或1:0.618，也就是說長段的平方等于全長與短段的乘積。0.618，以嚴格的比例性、藝術性、和諧性，蘊藏着豐富的美學價值。為什麼人們對這樣的比例，會本能地感到美的存在？其實這與人類的演化和人體正常發育密切相關。據研究，從猿到人的進化過程中，人體結構中有許多比例關系接近0.618，從而使人體美在幾十萬年的曆史積澱中固定下來。人類最熟悉自己，勢必将人體美作為最高的審美标準，凡是與人體相似的物體就喜歡它，就覺得美；于是黃金分割律作為一種重要形式美法則，成為世代相傳的審美經典規律，至今不衰！在研究黃金分割與人體關系時，發現了人體結構中有14個“黃金點”（物體短段與長段之比值為0.618），12個“黃金矩形”（寬與長比值為0.618的長方形）和2個“黃金指數”（兩物體間的比例關系為0.618）。
畫像同身方法
《蒙娜麗莎》是用數字來表示人體美，并根據一定的基準進行比較。用同一人體的某一部位作為基準，來判定它與體的比例關系的方法被稱為同身方法。分為三組：系數法，常指頭高身長指數，如繪畫人體比例時是以頭為标準的，站是7個頭長，坐是5個，蹲是3個；百分數法，将身長視為100%，身體各部位在其中的比例；兩分法：即把人體分成大小兩部分，大的部分從腳到臍，小的部分為臍到頭頂。标準的面型，其長寬比例協調，符合三庭五眼。三庭是指臉型的長度，從頭部發際到下颏的距離分為三等分，即從發際到眉、眉到鼻尖、鼻尖到下颏各分為一等分，各稱一庭共三庭；五眼是指臉型的寬度，雙耳間正面投影的長度為五隻眼裂的長度，除眼裂外、内此間距為一眼裂長度、兩側外眦角到耳部各有一眼裂長度。
生活應用
優選法
優選法是一種求最優化問題的方法。如在煉鋼時需要加入某種化學元素來增加鋼材的強度，假設已知在每噸鋼中需加某化學元素的量在1000—2000克之間，為了求得最恰當的加入量，需要在1000克與2000克這個區間中進行試驗。
通常是取區間的中點（即1500克）作試驗。然後将試驗結果分别與1000克和2000克時的實驗結果作比較，從中選取強度較高的兩點作為新的區間，再取新區間的中點做試驗，再比較端點，依次下去，直到取得最理想的結果。這種實驗法稱為對分法。但這種方法并不是最快的實驗方法，如果将實驗點取在區間的0.618處，那麼實驗的次數将大大減少。
這種取區間的0.618處作為試驗點的方法就是一維的優選法，也稱0.618法。實踐證明，對于一個因素的問題，用“0.618法”做16次試驗就可以完成“對分法”做2500次試驗所達到的效果。
優選法是一種具有廣泛應用價值的數學方法，著名數學家華羅庚曾為普及它作出重要貢獻。優選法中有一種0.618法應用了黃金分割法。例如，在一種試驗中，溫度的變化範圍是0℃~10℃，我們要尋找在哪個溫度時實驗效果最佳。為此，可以先找出溫度變化範圍的黃金分割點，考察10×0.618=6.18（℃）時的試驗效果，再考察10×（1-0.618）=3.82（℃）時的試驗效果，比較兩者，選優去劣。然後在縮小的變化範圍内繼續這樣尋找，直至選出最佳溫度。
植物
有些植莖上，兩張相鄰葉柄的夾角是137°28'，這恰好是把圓周分成1:0.618的兩條半徑的夾角。據研究發現，這種角度對植物通風和采光效果最佳。植物葉子，千姿百态，生機盎然，給大自然帶來了美麗的綠色世界。盡管葉子形态随種而異，但它在莖上的排列順序（稱為葉序），卻是極有規律的。有些植物的花瓣及主幹上枝條的生長，也是符合這個規律的。你從植物莖的頂端向下看，經細心觀察，發現上下層中相鄰的兩片葉子之間約成137.5°角。如果每層葉子隻畫一片來代表，第一層和第二層的相鄰兩葉之間的角度差約是137.5°，以後二到三層，三到四層，四到五層……兩葉之間都成這個角度。植物學家經過計算表明：這個角度對葉子的采光、通風都是最佳的。葉子的排布，多麼精巧！葉子間的137.5°角中，藏有什麼“密碼”呢？我們知道，一周是360°，360°-137.5°=222.5°，而137.5∶222.5≈0.618。瞧，這就是“密碼”！葉子的精巧而神奇的排布中，竟然隐藏着0.618的比例。
作息制度
全國政協委員張曉梅2009年全國兩會期間在其博客裡挂出拟提交的提案——采取每周四天半制度，同時征求網友的意見。
随着中國經濟社會的發展和城市化、現代化步伐加快，勞動效率的提高，5天8小時工作制也帶來一些問題，影響到了勞動時效性和勞動者生活質量。由于“紮堆”上下班，也對城市交通造成很大壓力。
而現在縮短工作時間已成為世界發展的一大趨勢，聯合國每周工作四天半，歐洲、亞洲和北美的很多發達國家都實行每周4天半甚至是4天的工作制度，工時大都不超過36小時。
中國經濟能高速發展，其中很重要的原因是勞動生産率不斷提高的結果。在勞動生産率提高的前提下，縮短工作時間，讓人們有更多的休息時間，進一步與世界接軌已具備了可行性。所以張曉梅建議，選擇适當的時機，在全國實行每周4天半的工作制，即每周工作時間36小時。
除此之外，實行每周四天半工作制還有一個原因，那就和黃金分割有關。一般地，一年中工作日所占比例為61.8%是最佳比例。而我們是每周休息兩天，照此推算，一年就有休息日104天，再加上11天的法定節假日，一年就有115個休息的日子，那麼，一年就有250個工作日。此時，工作日在一年中的比例約為250÷365×100%=68.5%，這個比例明顯偏離了最佳比例，而實施每周四天半工作制之後，一年中就減少了工作日26天，考慮到春節、“十一”假期要保持7天，所以春節、“十一”的法定節假日各減少1天，所以實際上一年要減少24天工作日。實施每周四天半工作制之後，工作日在一年中的比例約為（250-24）÷365×100%=61.9%，這個比例比較接近最佳比例，符合黃金比，所以十分需要實施每周四天半工作制。
醫學
醫學與0.618有着千絲萬縷的聯系，它可解釋人為什麼在環境22至24℃時感覺最舒适。因為人的體溫為37℃與0.618的乘積為22.8℃，而且這一溫度中肌體的新陳代謝、生理節奏和生理功能均處于最佳狀态。科學家們還發現，當外界環境溫度為人體溫度的0.618倍時，人會感到最舒服．現代醫學研究還表明，0.618與養生
之道息息相關，動與靜是一個0.618的比例關系，大緻四分動六分靜，才是最佳的養生之道。醫學分析還發現，飯吃六七成飽的幾乎不生胃病。
其它方面
1、人的體溫37度，室溫23度是人們感受最舒适的溫度，而23÷37≈0.622很接近0.618。
2．電腦顯示器長與寬比值約為1.6。（1/0.618=1.618）
3．理想體重計算很接近身高×（1－0.618）。
4．普通人一天上班8小時，8×0.618=4.944，上班第5個小時是最需要休息的時候，同時也是開始期待下班的時候。
股市應用
黃金分割線是利用黃金分割比率進行的切線畫法，在行情發生轉勢後，無論是止跌轉升或止升轉跌，以近期走勢中重要的高點和低點之間的漲跌額作為計量的基數，将原漲跌幅按0.236、0.382、0.5、0.618、0.809分割為5個黃金點，股價在反轉後的走勢将可能在這些黃金分割點上遇到暫時的阻力或支撐。據此又推算出0.236、0.382、0.809等，其中黃金分割線中運用最經典的數字為0.382、0.618，極易産生支撐與壓力。
戰争應用
武器裝備
在冷兵器時代，雖然人們還根本不知道黃金分割率這個概念，但人們在制造寶劍、大刀、長矛等武器時，黃金分割率的法則也早已處處體現了出來，因為按這樣的比例制造出來的兵器，用起來會更加得心應手。
當發射子彈的步槍剛剛制造出來的時候，它的槍把和槍身的長度比例很不科學合理，很不方便于抓握和瞄準。到了1918年，一個名叫阿爾文·約克的美遠征軍下士，對這種步槍進行了改造，改進後的槍型槍身和槍把的比例恰恰符合0.618的比例。
實際上，從鋒利的馬刀刃口的弧度，到子彈、炮彈、彈道導彈沿彈道飛行的頂點；從飛機進入俯沖轟炸狀态的最佳投彈高度和角度，到坦克外殼設計時的最佳避彈坡度，我們也都能很容易地發現黃金分割率無處不在。
在大炮射擊中，如果某種間瞄火炮的最大射程為12公裡，最小射程為4公裡，則其最佳射擊距離在9公裡左右，為最大射程的2/3，與0.618十分接近。在進行戰鬥部署時，如果是進攻戰鬥，大炮陣地的配置位置一般距離己方前沿為1/3倍最大射程處，如果是防禦戰鬥，則大炮陣地應配置距己方前沿2/3倍最大射程處。
戰術布陣
在中國曆史上很早發生的一些戰争中，就無不遵循着0.618的規律。春秋戰國時期，晉厲公率軍伐鄭，與援鄭之楚軍決戰于鄢陵。厲公聽從楚叛臣苗贲皇的建議，把楚之右軍作為主攻點，因此以中軍之一部進攻楚軍之左軍；以另一部進攻楚軍之中軍，集上軍、下軍、新軍及公族之卒，攻擊楚之右軍。其主要攻擊點的選擇，恰在黃金分割點上。
拿破侖的戰敗
0.618不僅在武器和一時一地的戰場布陣上體現出來，而且在區域廣闊、時間跨度長的宏觀的戰争中，也都充分地展現出來。
一代枭雄的的拿破侖大帝可能怎麼也不會想到，他的命運會與0.618緊緊地聯系在一起。1812年6月，正是莫斯科一年中氣候最為涼爽宜人的夏季，在未能消滅俄軍有生力量的博羅金諾戰役後，拿破侖于此時率領着他的大軍進入了莫斯科。這時的他可是躊躇滿志、不可一世。他并未意識到，天才和運氣此時也正從他身上一點點地消失，他一生事業的頂峰和轉折點正在同時到來。後來，法軍便在大雪紛揚、寒風呼嘯中灰溜溜地撤離了莫斯科。三個月的勝利進軍加上兩個月的盛極而衰，從時間軸上看，法蘭西皇帝透過熊熊烈焰俯瞰莫斯科城時，腳下正好就踩着黃金分割線。
