介紹
含有未知函數的導數，如的方程是微分方程。 一般的凡是表示未知函數、未知函數的導數與自變量之間的關系的方程，叫做微分方程。未知函數是一元函數的，叫常微分方程；未知函數是多元函數的叫做偏微分方程。微分方程有時也簡稱方程。
定義式
來源及發展
微分方程研究的來源：它的研究來源極廣，曆史久遠。牛頓和G.W.萊布尼茨創造微分和積分運算時，指出了它們的互逆性，事實上這是解決了最簡單的微分方程y'=f(x)的求解問題。當人們用微積分學去研究幾何學、力學、物理學所提出的問題時，微分方程就大量地湧現出來。牛頓本人已經解決了二體問題：在太陽引力作用下，一個單一的行星的運動。他把兩個物體都理想化為質點，得到3個未知函數的3個二階方程組，經簡單計算證明，可化為平面問題，即兩個未知函數的兩個二階微分方程組。用叫做“首次積分”的辦法，完全解決了它的求解問題。
17世紀就提出了彈性問題，這類問題導緻懸鍊線方程、振動弦的方程等等。總之，力學、天文學、幾何學等領域的許多問題都導緻微分方程。20世紀以來，随着大量的邊緣科學諸如電磁流體力學、化學流體力學、動力氣象學、海洋動力學、地下水動力學等等的産生和發展，也出現不少新型的微分方程（特别是方程組）。
在當代，甚至許多社會科學的問題亦導緻微分方程，如人口發展模型、交通流模型……。因而微分方程的研究是與人類社會密切相關的。當初，數學家們把精力集中放在求微分方程的通解上，後來證明這一般不可能，于是逐步放棄了這一奢望，而轉向定解問題：初值問題、邊值問題、混合問題等。但是，即便是一階常微分方程，初等解(化為積分形式)也被證明不可能，于是轉向定量方法（數值計算）、定性方法，而這首先要解決解的存在性、唯一性等理論上的問題。
70年代随着數學向化學和生物學的滲透，出現了大量的反應擴散方程。從“求通解”到“求解定解問題” 數學家們首先發現微分方程有無窮個解。常微分方程的解會含有一個或多個任意常數，其個數就是方程的階數。偏微分方程的解會含有一個或多個任意函數，其個數随方程的階數而定。命方程的解含有的任意元素（即任意常數或任意函數）作盡可能的變化，人們就可能得到方程所有的解，于是數學家就把這種含有任意元素的解稱為“通解”。在很長一段時間裡，人們緻力于“求通解”。但是以下三種原因使得這種“求通解”的努力，逐漸被放棄。
第一，能求得通解的方程顯然是很少的。在常微分方程方面，一階方程中可求得通解的，除了線性方程、可分離變量方程和用特殊方法變成這兩種方程的方程之外，為數是很小的。如果把求通解看作求微商及消去法的某一類逆運算，那麼，也和熟知的逆運算一樣，它是帶試探性而沒有一定的規則的，甚至有時是不可能的（J.劉維爾首先證明黎卡提方程不可能求出通解），何況這種通解也是随着其自由度的增多而增加其求解的難度的。
第二，當人們要明确通解的意義的時候（在19世紀初葉分析奠基時期顯然會考慮到此問題）就會碰到嚴重的含糊不清之處，達布在他的教學中經常提醒大家注意這些困難。這主要發生在偏微分方程的研究中。
第三，微分方程在物理學、力學中的重要應用，不在于求方程的任一解，而是求得滿足某些補充條件的解。A.-L.柯西認為這是放棄“求通解”的最重要的和決定性的原因。這些補充條件即定解條件。求方程滿足定解條件的解，稱之為求解定解問題。
特點
常微分方程的概念、解法、和其它理論很多，比如，方程和方程組的種類及解法、解的存在性和唯一性、奇解、定性理論等等。下面就方程解的有關幾點簡述一下，以了解常微分方程的特點。
求通解在曆史上曾作為微分方程的主要目标，一旦求出通解的表達式，就容易從中得到問題所需要的特解。也可以由通解的表達式，了解對某些參數的依賴情況，便于參數取值适宜，使它對應的解具有所需要的性能，還有助于進行關于解的其他研究。後來的發展表明，能夠求出通解的情況不多，在實際應用中所需要的多是求滿足某種指定條件的特解。當然，通解是有助于研究解的屬性的，但是人們已把研究重點轉移到定解問題上來。
一個常微分方程是不是有特解呢？如果有，又有幾個呢？這是微分方程論中一個基本的問題，數學家把它歸納成基本定理，叫做存在和唯一性定理。因為如果沒有解，而我們要去求解，那是沒有意義的；如果有解而又不是唯一的，那又不好确定。因此，存在和唯一性定理對于微分方程的求解是十分重要的。
大部分的常微分方程求不出十分精确的解，而隻能得到近似解。當然，這個近似解的精确程度是比較高的。另外還應該指出，用來描述物理過程的微分方程，以及由試驗測定的初始條件也是近似的，這種近似之間的影響和變化還必須在理論上加以解決。
通常微分方程在很多學科領域内有着重要的應用，自動控制、各種電子學裝置的設計、彈道的計算、飛機和導彈飛行的穩定性的研究、化學反應過程穩定性的研究等。這些問題都可以化為求常微分方程的解，或者化為研究解的性質的問題。應該說，應用常微分方程理論已經取得了很大的成就，但是，它的現有理論也還遠遠不能滿足需要，還有待于進一步的發展，使這門學科的理論更加完善。
數學描述
許多物理或是化學的基本定律都可以寫成微分方程的形式。在生物學及經濟學中，微分方程用來作為複雜系統的數學模型。微分方程的數學理論最早是和方程對應的科學領域一起出現，而微分方程的解就可以用在該領域中。不過有時二個截然不同的科學領域會形成相同的微分方程，此時微分方程對應的數學理論可以看到不同現象後面一緻的原則。
例如考慮光和聲音在空氣中的傳播，以及池塘水面上的波動，這些都可以用同一個二階的偏微分方程來描述，此方程即為波動方程，因此可以将光和聲音視為一種波，和水面上的水波有些類似之處。約瑟夫·傅立葉所發展的熱傳導理論，其統禦方程是另一個二階偏微分方程－熱傳導方程式，擴散作用看似和熱傳導不同，但也适用同一個統禦方程，而經濟學中的布萊克-休斯方程也和熱傳導方程有關。
其他學科關系
早期由于外彈道學的需要，以及40年代由于高速氣動力學研究激波的需要，拟線性一階雙曲組的間斷解的研究更得到了重大發展，蘇聯和美國學者作出了貢獻。泛函分析和偏微分方程間的相互聯系，相互促進發展，首先應歸功于法、波、蘇等國學者的努力。
常微分方程的形成與發展是和力學、天文學、物理學，以及其他科學技術的發展密切相關的。數學的其他分支的新發展，如複變函數、李群、組合拓撲學等，都對常微分方程的發展産生了深刻的影響，當前計算機的發展更是為常微分方程的應用及理論研究提供了非常有力的工具。
分類
微分方程可分為以下幾類，而随着微分方程種類的不同，其相關研究的方式也會随之不同。
偏微分方程
常微分方程（ODE）是指微分方程的自變量隻有一個的方程。最簡單的常微分方程，未知數是一個實數或是複數的函數，但未知數也可能是一個向量函數或是矩陣函數，後者可對應一個由常微分方程組成的系統。
一般的n階常微分方程具有形式：
其中是的已知函數，，……，并且必含有。
偏微分方程（PDE）是指微分方程的自變量有兩個或以上 ，且方程式中有未知數對自變量的偏微分。偏微分方程的階數定義類似常微分方程，但更細分為橢圓型、雙曲線型及抛物線型的偏微分方程，尤其在二階偏微分方程中上述的分類更是重要。有些偏微分方程在整個自變量的值域中無法歸類在上述任何一種型式中，這種偏微分方程則稱為混合型。
最常見的二階橢圓方程為調和方程：。
線性及非線性
常微分方程及偏微分方程都可以分為線性微分方程及非線性微分方程二類。
若是，，……，的一次有理式，則稱方程為n階線性方程，否則即為非線性微分方程。
一般的，n階線性方程具有形式：
其中，均為x的已知函數。
若線性微分方程的系數均為常數，則為常系數線性微分方程。
舉例
以下是常微分方程的一些例子，其中u為未知的函數，自變量為x，c及ω均為常數。
非齊次一階常系數線性微分方程：
齊次二階線性微分方程：
非齊次一階非線性微分方程：
以下是偏微分方程的一些例子，其中u為未知的函數，自變量為x及t或者是x及y。
齊次一階線性偏微分方程：
拉普拉斯方程，是橢圓型的齊次二階常系數線性偏微分方程：
KdV方程， 是三階的非線性偏微分方程：
微分方程的解
微分方程的解通常是一個函數表達式y=f(x),（含一個或多個待定常數，由初始條件确定）。
例如：，其解為：，其中C是待定常數；
如果知道，則可推出C=1，而可知 y=-cos x+1，
一階線性常微分方程
對于一階線性常微分方程，常用的方法是常數變易法：
對于方程：y'+p(x)y+q(x)=0，可知其通解：，然後将這個通解代回到原式中，即可求出C(x)的值。
二階常系數齊次常微分方程
對于二階常系數齊次常微分方程，常用方法是求出其特征方程的解
對于方程：
可知其通解：
其特征方程：
根據其特征方程，判斷根的分布情況，然後得到方程的通解
一般的通解形式為：
若，則有
若，則有
在共轭複數根的情況下：。r=α±βi
約束條件
微分方程的約束條件是指其解需符合的條件，依常微分方程及偏微分方程的不同，有不同的約束條件。
常微分方程常見的約束條件是函數在特定點的值，若是高階的微分方程，會加上其各階導數的值，有這類約束條件的常微分方程稱為初值問題。
若是二階的常微分方程，也可能會指定函數在二個特定點的值，此時的問題即為邊界值問題。若邊界條件指定二點數值，稱為狄利克雷邊界條件（第一類邊值條件），此外也有指定二個特定點上導數的邊界條件，稱為諾伊曼邊界條件（第二類邊值條件）等。
偏微分方程常見的問題以邊界值問題為主，不過邊界條件則是指定一特定超曲面的值或導數需符定特定條件。
唯一性
存在性是指給定一微分方程及約束條件，判斷其解是否存在。唯一性是指在上述條件下，是否隻存在一個解。
針對常微分方程的初值問題，皮亞諾存在性定理可判别解的存在性，柯西-利普希茨定理則可以判别解的存在性及唯一性。
針對偏微分方程，柯西-克瓦列夫斯基定理可以判别解的存在性及唯一性。 皮亞諾存在性定理可以判斷常微分方程初值問題的解是否存在。
