一般形式
二階微分方程的一般形式是
其中,x是自變量,y是未知函數,y'是y的一階導數,y''是y的二階導數。
可降階方程
在有些情況下,可以通過适當的變量代換,把二階微分方程化成一階微分方程來求解。具有這種性質的微分方程稱為可降階的微分方程,相應的求解方法稱為降階法。下面介紹三種容易用降階法求解的二階微分方程。
1)y''=f(x)型
方程特點:右端僅含有自變量x,逐次積分即可得到通解,對二階以上的微分方程也可類似求解。
例1 求方程y''=e2x-cosx的通解。
解:原方程兩邊積分兩次,得通解
其中,C1,C2為任意常數。
2)y''=f(x,y')型
方程特點:右端函數表達式中不含有未知函數y。
由于y'也是x的未知函數,可設p(x)=y',則原方程可降階為
這是關于p的一階微分方程,可求通解。
3)y''=f(y,y')型
方程特點:右端函數表達式中不含有自變量x。
令y'=p(y),利用複合函數求導法則
原方程變為關于y,p的一階方程
線性微分方程
一般形如
(其中,f(x)是x的函數)的方程稱為二階常系數線性微分方程。
當f(x)=0時,方程
稱為二階常系數線性齊次微分方程;否則,方程(1)稱為二階常系數線性非齊次微分方程。
1)二階常系數線性齊次微分方程的解
定理1(線性齊次微分方程通解的結構定理)如果函數y1(x)與y2(x)是(2)的兩個線性無關的解,則函數
是齊次方程(2)的通解。(其中,C1、C2為兩個獨立的任意常數)
微分方程
的通解與其特征根的關系見下表1。
2)二階常系數線性非齊次微分方程的解
定理2(線性非齊次微分方程通解的結構定理)如果y0是非齊次微分方程(1)的一個特解,而y*是對應的齊次微分方程(2)的通解,則y=y0+y*是方程(1)的通解。
對于比較簡單的情形,可以用觀察法找特解。但對于比較複雜的情形就不太容易了。