發展曆程
向量的名詞雖來自哈密頓，但向量作為一條有向線段的思想卻由來已久。向量理論的起源與發展主要有三條線索：物理學中的速度和力的平行四邊形法則、位置幾何、複數的幾何表示。
向量是近代數學中重要和基本的數學概念之一,它是溝通代數、幾何與三角函數的一種工具,有着豐富的實際背景.在本章中,大家将了解向量豐富的實際背景,理解平面向量及其運算的意義,能用向量語言和方法表述和解決數學和物理中的一些問題,發展運算能力和解決實際問題的能力.
物理學中的速度與力的平行四邊形概念是向量理論的一個重要起源之一。18世紀中葉之後，歐拉、拉格朗日、拉普拉斯和柯西等的工作，直接導緻了在19世紀中葉向量力學的建立。同時，向量概念是近代數學中重要和基本的概念之一，有着深刻的幾何背景。它始于萊布尼茲的位置幾何。
現代向量理論是在複數的幾何表示這條線索上發展起來的。18世紀，由于在一些數學的推導中用到複數，複數的幾何表示成為人們探讨的熱點。哈密頓在做3維複數的模拟物的過程中發現了四元數。随後，吉布斯和亥維賽在四元數基礎上創造了向量分析系統，最終被廣為接受。
表示方法
幾何表示
具有方向的線段叫做有向線段，以A為起點，B為終點的有向線段記作AB。（AB是印刷體，也就是粗體字母，書寫體是上面加個→）
有向線段AB的長度叫做向量的模，記作|AB|。
有向線段包含3個因素：起點、方向、長度。
相等向量、平行向量、共線向量、零向量、單位向量：
長度相等且方向相同的向量叫做相等向量。
兩個方向相同或相反的非零向量叫做平行向量或共線向量，
向量a、b平行，記作a//b，零向量與任意向量平行，即0//a，
在向量中共線向量就是平行向量，（這和直線不同，直線共線就是同一條直線了，而向量共線就是指兩條是平行向量）
長度等于0的向量叫做零向量，記作0。（注意粗體格式，實數“0”和向量“0”是有區别的，書寫時要在實數“0”上加箭頭，以免混淆）
零向量的方向是任意的；且零向量與任何向量都平行且垂直。
模等于1個單位長度的向量叫做單位向量。
坐标表示
在直角坐标系内，我們分别取與x軸、y軸方向相同的兩個單位向量i、j作為基底。任作一個向量a，由平面向量基本定理可知，有且隻有一對實數x、y，使得
a=xi+yj
我們把（x，y）叫做向量a的（直角）坐标，記作
a=（x，y），
其中x叫做a在x軸上的坐标，y叫做a在y軸上的坐标，上式叫做向量的坐标表示。
在平面直角坐标系内，每一個平面向量都可以用一對實數唯一表示。
注意：平面向量的坐标與點的坐标不一樣，平面向量的坐标是相對的。而點的坐标是絕對的。若一向量的起點在原點，例如該向量為（1，2）那麼該向量上的所有點都可以用（a，2a）表示。即，該向量上的任意一點的橫縱坐标比例關系與向量坐标的比例關系是一樣的。
書寫方法
印刷體：隻用小寫字母表示時，采用加粗黑體；用首尾點大寫字母表示時，需要在字母上加箭頭，如；
手寫體：均需在字母上加箭頭表示。
運算性質
向量同數量一樣，也可以進行運算。向量可以參與多種運算過程，包括線性運算（加法、減法和數乘）、數量積、向量積與混合積等。
下面介紹運算性質時，将統一作如下規定：任取平面上兩點A(x1,y1)，B(x2,y2)，C(x3,y3)。
減法運算
AB-AC=CB,這種計算法則叫做向量減法的三角形法則。（共起點，連終點，方向指向被減向量）
與a長度相等，方向相反的向量，叫做a的相反向量，－(－a)=a，零向量的相反向量仍然是零向量。
（1）a+(－a)=(－a)+a=0（2）a－b=a+(－b)。
坐标運算
已知a=（x1，y1），b=（x2，y2），則
a+b=（x1+x2,y1+y2）
a-b=（x1-x2，y1-y2）
這就是說，兩個向量和與差的坐标分别等于這兩個向量相應坐标的和與差。
由此可以得到：
一個向量的坐标等于表示此向量的有向線段的終點坐标減去始點的坐标。
根據上面的結論又可得
若a=(x,y),則λa=(λx,λy)
這就是說，實數與向量的積的坐标等于用這個實數乘原來向量的相應坐标。
數量積
（1）向量a與向量b的夾角：已知兩個非零向量，過O點做向量OA=a，向量OB=b，則角AOB=θ叫做向量a與b的夾角。
（2）數量積的定義：已知兩個非零向量a、b，那麼|a||b|cosθ叫做a與b的數量積或内積，記作a·b，θ是a與b的夾角，|a|cosθ（|b|cosθ）叫做向量a在b方向上（b在a方向上）的投影。零向量與任意向量的數量積為0。
（3）數量積幾何意義：數量積a·b等于a的長度|a|與b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘積。
兩個向量的數量積等于它們對應坐标的乘積的和。即：若a=(x1,y1),b=(x2,y2),則a·b=x1x2+y1y2
（4）向量的數量積的性質：
a·a=∣a∣^2≥0
a·b=b·a
k(ab)=(ka)b=a(kb)
a·(b+c)=a·b+a·c
a·b=0<=>a⊥b
a=kb<=>a//b
e1·e2=|e1||e2|cosθ
向量積
（1）向量a與向量b的夾角：已知兩個非零向量，過O點做向量OA=a，向量OB=b，則∠AOB=θ叫做向量a與b的夾角，記作〈a，b〉。
（2）已知兩個非零向量a、b，那麼a×b叫做a與b的向量積或外積。若a、b不共線，a×b是一個向量，其模是∣a×b∣=|a||b|sin〈a，b〉；a×b的方向為垂直于a和b，且a、和a×b按次序構成右手系。若a、b共線，則a×b=0。
（3）向量積幾何意義：∣a×b∣是以a和b為邊的平行四邊形面積。
（4）向量積性質：
a×a=0
a‖b〈=〉a×b=0
a×b=-b×a
（λa）×b=λ（a×b）=a×（λb）
（a+b）×c=a×c+b×c
混合積
定義：給定空間三向量a、b、c，向量a、b的向量積a×b，再和向量c作數量積(a×b)·c，所得的數叫做三向量a、b、c的混合積，記作(a,b,c)或(abc)，即(abc)=(a,b,c)=(a×b)·c
混合積具有下列性質：
1、三個不共面向量a、b、c的混合積的絕對值等于以a、b、c為棱的平行六面體的體積V，并且當a、b、c構成右手系時混合積是正數；當a、b、c構成左手系時，混合積是負數，即(abc)=εV（當a、b、c構成右手系時ε=1；當a、b、c構成左手系時ε=-1）
2、上性質的推論：三向量a、b、c共面的充要條件是(abc)=0
3、(abc)=(bca)=(cab)=-(bac)=-(cba)=-(acb)
共線問題
1、a(a≠0)與b共線，當且僅當有唯一一個λ使b=λa.
2、當向量OC=（1-λ）向量OA+λ向量OB時，A,B,C三點共線.
基本定理
如果e和e是同一平面内的兩個不共線的非零向量，那麼對該平面内的任一向量a，有且隻有一對實數λ、μ，使a=λe+μe。
