定義
含有兩個相同未知數的兩個一次方程所組成的方程組叫做二元一次方程組。
相關定義
把兩個含有相同未知數的一次方程聯合在一起，那麼這兩個方程就組成了一個二元一次方程組。
二元一次方程定義：每個方程都含有兩個未知數（x和y）并且含有未知數的項的次數都是1的方程叫做二元一次方程。
二元一次方程的解：适合一個二元一次方程的一組未知數的值，叫做這個二元一次方程的其中一個解。
二元一次方程組的解：二元一次方程組中各個方程的公共解，叫做這個二元一次方程組的解。二元一次方程組的解必是它所含的二元一次方程的解。
課标要求
知識梳理
1．二元一次方程（組）及解的應用：注意:方程（組）的解适合于方程，任何一個二元一次方程都有無數個解，有時考查其整數解的情況，還經常應用方程組的概念巧求代數式的值。
2．解二元一次方程組：解方程組的基本思想是消元，常用方法是代入消元和加減消元，
3．二元一次方程組的應用：列二元一次方程組的關鍵是能正确分析出題目中的等量關系，題目内容往往與生活實際相貼近，與社會關系的熱點問題相聯系，請平時注意搜集、觀察與分析。
解法
消元法
1）代入消元法
用代入消元法的一般步驟是：
1.選一個系數比較簡單的方程進行變形，變成y=ax+b或x=ay+b的形式；
2.将y=ax+b或x=ay+b代入另一個方程，消去一個未知數，從而将另一個方程變成一元一次方程；
3.解這個一元一次方程，求出x或y值；
4.将已求出的x或y值代入方程組中的任意一個方程（y=ax+b或x=ay+b），求出另一個未知數；
5。把求得的兩個未知數的值用大括号聯立起來，這就是二元一次方程的解。
例：解方程組：x+y=5①
6x+13y=89②
解：由①得x=5-y③
把③代入②，得6(5-y)+13y=89
得y=59/7
把y=59/7代入③，得x=5-59/7
得x=-24/7
∴x=-24/7
y=59/7為方程組的解
我們把這種通過“代入”消去一個未知數，從而求出方程組的解的方法叫做代入消元法（elimination by substitution)，簡稱代入法。
2）加減消元法
①在二元一次方程組中，若有同一個未知數的系數相同（或互為相反數），則可直接相減（或相加），消去一個未知數；
②在二元一次方程組中，若不存在①中的情況，可選擇一個适當的數去乘方程的兩邊，使其中一個未知數的系數相同（或互為相反數），再把方程兩邊分别相減（或相加），消去一個未知數，得到一元一次方程；
③解這個一元一次方程；
④将求出的一元一次方程的解代入原方程組系數比較簡單的方程，求另一個未知數的值；
⑤把求得的兩個未知數的值用大括号聯立起來，這就是二元一次方程組的解。
用加減消元法解方程組的的第一種方法
例：解方程組：
x+y=9①
x-y=5②
解：①+②
得：2x=14
∴x=7
把x=7代入①
得：7+y=9
∴y=2
∴方程組的解是:x=7
y=2
用加減消元法解方程組的的第二種方法
例：解方程組：
x+y=9①
x-y=5②
解：①+②
得：2x=14
∴x=7
①-②
得：2y=4
∴y=2
∴方程組的解是:x=7
y=2
利用等式的性質使方程組中兩個方程中的某一個未知數前的系數的絕對值相等，然後把兩個方程相加（或相減），以消去這個未知數，使方程隻含有一個未知數而得以求解，再代入方程組的其中一個方程。像這種解二元一次方程組的方法叫做加減消元法（elimination by addition-subtraction），簡稱加減法。
換元法
例2，（x+5)+(y-4)=8
（x+5)-(y-4)=4
令x+5=m,y-4=n
原方程可寫為
m+n=8
m-n=4
解得m=6,n=2
所以x+5=6,y-4=2
所以x=1,y=6
特點：兩方程中都含有相同的代數式，如題中的x+5,y-4之類，換元後可簡化方程也是主要原因。
設參數法
例3，x:y=1:4
5x+6y=29
令x=t,y=4t
方程2可寫為：5t+6*4t=29
29t=29
t=1
所以x=1,y=4
二元一次方程組推導過程：
在最後式中隻有一個y未知數，求出y值(y=?)，再代入a1x+b1y=k1;求出X。
例題：
y=(2-3/4*0)/(1-3/4*2)=2/(-1/2)=-4
3x-4=2或4x-8=0
x=2
推導簡易方程：
方程=0；未知數0；1
圖像法
二元一次方程組還可以用做圖像的方法，即将相應二元一次方程改寫成一次函數的表達式在同坐标系内畫出圖像，兩條直線的交點坐标即二元一次方程組的解。
三類解
一般地，使二元一次方程組的兩個方程左、右兩邊的值都相等的兩個未知數的值，叫做二元一次方程組的解。求方程組的解的過程，叫做解方程組。一般來說，一個二元一次方程有無數個解，而二元一次方程組的解有以下三種情況：
唯一解
如方程組x+y=5①
6x+13y=89②
x=-24/7
y=59/7為方程組的解
有無數組解
如方程組x+y=6①
2x+2y=12②
因為這兩個方程實際上是一個方程（亦稱作“方程有兩個相等的實數根”），所以此類方程組有無數組解。
無解
如方程組x+y=4①
2x+2y=10②，
因為方程②化簡後為
x+y=5
這與方程①相矛盾，所以此類方程組無解。
可以通過系數之比來判斷二元一次方程組的解的情況，如下列關于x,y的二元一次方程組：
ax+by=c
dx+ey=f
當a/d≠b/e時，該方程組有一組解。
當a/d=b/e=c/f時，該方程組有無數組解。
當a/d=b/e≠c/f時，該方程組無解。
區别
與一元二次方程的區别
1．定義及一般形式：
2．解法：⑴直接開平方法（注意特征）
⑵配方法（注意步驟—推倒求根公式）
⑶公式法：
⑷因式分解法（特征：左邊=0）
3．根的判别式：
4．根與系數頂的關系：
逆定理：若，則以為根的一元二次方程是：。
5．常用等式：
⑵基本思想：
⑶基本解法：
①乘方法（注意技巧！！）
②換元法（例，）
X-Y=Y-1
例題
某水庫計劃向甲.乙兩地送水，甲地需水180萬立方米，乙地需水120萬立方米，現已經送了兩次，第一次往甲地送水3天，乙地送水2天，共送水84萬立方米；第二次往甲地送水2天，乙地送水3天，共送水81萬立方米。若按這樣的進度送水，問：完成往甲.乙兩地送水任務還各需多少天？
設住甲,乙送水的速度分别為X和Y
3X+2Y=84
2X+3Y=81解得X=18Y=15
甲地還要180/18-5=5天，乙地還要120/15-5=3天
2.一學生問老師：“您今年多大年齡？”老師風趣地說：“我像你這麼大的時候，你才出生，你到我這麼大的時
候，我已經37歲了。”請問這位老師和學生的年齡各多少歲？
老師和學生的年齡各X,Y歲
X+X-Y=37解得X=25Y=13
其它
注意
二元一次方程組不一定都是由兩個二元一次方程合在一起組成的！不止限制于一種。
也可以由一個或多個二元一次方程單獨組成。
重點：一元一次、一元二次方程，二元一次方程組的解法；方程的有關應用題（特别是行程、工程問題）
依據—等式性質
1．a=b←→a+c=b+c
2．a=b←→ac=bc(c>0)
列方程（組）解應用題
一概述
列方程（組）解應用題是中學數學聯系實際的一個重要方面。其具體步驟是：
⑴審題。理解題意。弄清問題中已知量是什麼，未知量是什麼，問題給出和涉及的相等關系是什麼。
⑵設元（未知數）。①直接未知數②間接未知數（往往二者兼用）。一般來說，未知數越多，方程越易列，但越難解。
⑶用含未知數的代數式表示相關的量。
⑷尋找相等關系（有的由題目給出，有的由該問題所涉及的等量關系給出），列方程。一般地，未知數個數與方程個數是相同的。
⑸解方程及檢驗。
⑹答案。
綜上所述，列方程（組）解應用題實質是先把實際問題轉化為數學問題（設元、列方程），在由數學問題的解決而導緻實際問題的解決（列方程、寫出答案）。在這個過程中，列方程起着承前啟後的作用。因此，列方程是解應用題的關鍵。
二常用的相等關系
1．行程問題（勻速運動）
基本關系：s=vt
⑴相遇問題（同時出發）；
⑵追及問題（同時出發）；
若甲出發t小時後，乙才出發，而後在B處追上甲，則
⑶水中航行；
2．配料問題：溶質=溶液×濃度
溶液=溶質+溶劑
3．增長率問題
增長率=增長後的值/增長前的值
4．工程問題
基本關系：工作量=工作效率×工作時間（常把工作量看成單位“1”）。
5．幾何問題
常用勾股定理，幾何體的面積、體積公式，相似形及有關比例性質等。
三注意語言與解析式的互化：
如，“多”、“少”、“增加了”、“增加為（到）”、“同時”、“擴大為（到）”、“擴大了”、……
又如，一個三位數，百位數字為a，十位數字為b，個位數字為c，則這個三位數為：100a+10b+c，而不是abc。
四注意從語言叙述中寫出相等關系：
如，x比y大3，則x-y=3或x=y+3或x-3=y。又如，x與y的差為3，則x-y=3。五注意單位換算
如，“小時”“分鐘”的換算；s、v、t單位的一緻等。
利用程序求解
二元一次方程組可以用順序消元法用計算機程序求解，以下是用C++編寫的例子：
#include
using namespace std;
class EYYCFCZ
{
public:
void get(double a00,double a01,double a10,double a11,double b0,double b1);
double returny();
double returnx()
{
x=(b[0]-a[0][1]*y)/a[0][0];
return x;
}
private:
double a[2][2];
double b[2];
double x,y;
};
double EYYCFCZ::returny()
{
double m=a[1][0]/a[0][0];
double a_11=a[1][1]-m*a[0][1];
double b_1=b[1]-m*b[0];
y=b_1/a_11;
return y;
}
void main()
{
double a00,a01,a10,a11,b0,b1;
cout<<"請将方程化為ax+by=c的形式（a，b，c均為一個實數）。"<
cout<<"請輸入1式中x的系數：";
cin>>a00;
cout<<"請輸入1式中y的系數：";
cin>>a01;
cout<<"請輸入1式中等号右邊的數：";
cin>>b0;
cout<<"請輸入2式中x的系數：";
cin>>a10;
cout<<"請輸入2式中y的系數：";
cin>>a11;
cout<<"請輸入2式中等号右邊的數：";
cin>>b1;
EYYCFCZ fc;
fc.get(a00,a01,a10,a11,b0,b1);
double y=fc.returny();
double x=fc.returnx();
cout<<"nnnn解得："
cout<<"x="<
cout<<"y="<
system("pause");
return;
}
void EYYCFCZ::get(double a00,double a01,double a10,double a11,double b0,double b1)
{
{
a[0][0]=a00;
a[0][1]=a01;
a[1][0]=a10;
a[1][1]=a11;
b[0]=b0;
b[1]=b1;
