解釋
在二次函數的圖像上
頂點式:y=a(x-h)^2;+k 抛物線的頂點P(h,k)
頂點坐标:對于二次函數 y=ax^2;+bx+c 其頂點坐标為 (-b/2a,(4ac-b^2;)/4a)
考點掃描
1.會用描點法畫出二次函數的圖象.
2.能利用圖象或配方法确定抛物線的開口方向及對稱軸、頂點的位置.
3.會根據已知圖象上三個點的坐标求出二次函數的解析式.
名師講解
1.二次函數y=ax²,y=a(x-h)²,y=a(x-h)²+k,y=ax²+bx+c(各式中,a≠0)的圖象形狀相同,隻是位置不同,它們的頂點坐标及對稱軸如下表:
解析式
y=ax²
y=a(x-h)²
y=a(x-h)²+k
y=ax²+bx+c
頂點坐标
[0,0]
[h,0]
[h,k]
[-b/2a,(4ac-b²)/4a ]
對 稱 軸
x=0
x=h
x=h
x=-b/2a
當h>0時,y=a(x-h)²的圖象可由抛物線y=ax²向右平行移動h個單位得到,
當h<0時,則向左平行移動|h|個單位得到.
當h>0,k>0時,将抛物線y=ax²向右平行移動h個單位,再向上移動k個單位,就可以得
到y=a(x-h)²+k的圖象;
當h>0,k<0時,将抛物線y=ax²向右平行移動h個單位,再向下移動|k|個單位可得到y=a(x-h)²+k的圖象;
當h<0,k>0時,将抛物線向左平行移動|h|個單位,再向上移動k個單位可得到y=a(x-h)²+k的圖象;
當h<0,k<0時,将抛物線向左平行移動|h|個單位,再向下移動|k|個單位可得到y=a(x-h)²+k的圖象;
因此,研究抛物線y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象,通過配方,将一般式化為y=a(x-h)²+k的形式,可确定其頂點坐标、對稱軸,抛物線的大體位置就很清楚了.這給畫圖象提供了方便.
2.抛物線y=ax²+bx+c(a≠0)的圖象:當a>0時,開口向上"當a<0時,開口向下,對稱軸是直線x=-b/2a,頂點坐标是[ -b/2a,(4ac-b²)/4a]
3.抛物線y=ax²+bx+c(a≠0),若a>0,當x≤-b/2a時,y随x的增大而減小;當x≥-b/2a時,y随x的增大而增大.若a<0,當x≤-b/2a時,y随x的增大而增大;當x≥-b/2a時,y随x的增大而減小. 4.抛物線y=ax²+bx+c的圖象與坐标軸的交點:
(1)圖象與y軸一定相交,交點坐标為(0,c);
(2)當△=b2-4ac>0,圖象與x軸交于兩點A(x1,0)和B(x2,0),其中的x1,x2是一元二次方程ax²+bx+c=0
(a≠0)的兩根.這兩點間的距離AB=|x2-x1|=.
當△=0.圖象與x軸隻有一個交點;
當△<0.圖象與x軸沒有交點.當a>0時,圖象落在x軸的上方,x為任何實數時,都有y>0;當a<0時,圖象落在x軸的下方,x為任何實數時,都有y<0.
5.抛物線y=ax²+bx+c的最值:如果a>0(a<0),則當x=時,y最小(大)值=.
頂點的橫坐标,是取得最值時的自變量值,頂點的縱坐标,是最值的取值.
6.用待定系數法求二次函數的解析式
待定系數法: (已知函數類型如: -次、二次函數、反比例函數等):若已知f(x)的結構時,可設出含參數的表達式,再根據已知條件,列方程或方程組,從而求出待定的參數,求得f(x)的表達式。待定系數法是一種重 要的數學方法,它隻适用于已知所求函數的類型求其解析式。
7.一元二次方程頂點坐标:[-b/2a,(4ac-b²)/4a]。頂點坐标是用來表示二次函數抛物線頂點的位置的參考指标,頂點式:y=a(x-h)²+k(a≠0,k為常數)。
8.二次函數知識很容易與其它知識綜合應用,而形成較為複雜的綜合題目。因此,以二次函數知識為主的綜合性題目是中考的熱點考題,往往以大題形式出現.
二次函數常用的一般形式
1.y=ax^2+bx+c (a≠0)
2.y=ax^2 (a≠0)
3.y=ax^2+c (a≠0)
4.y=a(x-h)^2 (a≠0)
5.y=a(x-h)^2+k (a≠0)←頂點式
6.y=a(x-x1)(x-x2) (a≠0)←交點式