性質
|a|表示數軸上的點a與原點的距離叫做數a的絕對值。
兩個重要性質：
1.|ab|=|a||b|
2.|a|<|b|可逆|b|>|a|
||a|-|b||≤|a+b|≤|a|+|b|，當且僅當ab≤0時左邊等号成立，ab≥0時右邊等号成立。
另外有：|a-b|≤|a|+|-b|=|a|+|-1|*|b|=|a|+|b|
||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|
幾何意義
1、當a，b同号時它們位于原點的同一邊，此時a與﹣b的距離等于它們到原點的距離之和。 [2]
2、當a，b異号時它們分别位于原點的兩邊，此時a與﹣b的距離小于它們到原點的距離之和。(|a-b|表示a-b與原點的距離，也表示a與b之間的距離)
應用
解不等式|x-x²-2|>x²-3x-4
解∵|x-x²-2|=|x²-x+2|
而x²-x+2=(x-1/4)²+7/4>0
所以|x-x²-2|中的絕對值符号可直接去掉.
故原不等式等價于x²-x+2>x²-3x-4
解得：x>-3
∴原不等式解集為{x>-3}
相關公式
絕對值重要不等式推導過程
我們知道
|x|={x，(x>0);x，(x=0);-x，(x<0);
因此，有：
-|a|≤a≤|a|......①
-|b|≤b≤|b|......②
-|b|≤-b≤|b|......③
由①+②得：
-(|a|+|b|)≤a+b≤|a|+|b|
即|a+b|≤|a|+|b|......④
由①+③得：
-(|a|+|b|)≤a-b≤|a|+|b|
即|a-b|≤|a|+|b|......⑤
另：
|a|=|(a+b)-b|=|(a-b)+b|
|b|=|(b+a)-a|=|(b-a)+a|
由④知：
|a|=|(a+b)-b|≤|a+b|+|-b|=>|a|-|b|≤|a+b|.......⑥
|b|=|(b+a)-a|≤|b+a|+|-a|=>|a|-|b|≥-|a+b|.......⑦
|a|=|(a-b)+b|≤|a-b|+|b|=>|a|-|b|≤|a-b|.......⑧
|b|=|(b-a)+a|≤|b-a|+|a|=>|a|-|b|≥-|a-b|.......⑨
由⑥，⑦得：
||a|-|b||≤|a+b|......⑩
由⑧，⑨得：
||a|-|b||≤|a-b|......⑪
綜合④⑤⑩⑪得到有關絕對值(absolutevalue)的重要不等式
|a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b|
要注意等号成立的條件（特别是求最值），即：
|a-b|=|a|+|b|→ab≤0
|a|-|b|=|a+b|→b(a+b)≤0
|a|-|b|=|a-b|→b(a-b)≥0
注：|a|-|b|=|a+b|→|a|=|a+b|+|b|→|（a+b）-b|=|a+b|+|b|→b(a+b)≤0
同理可得|a|-|b|=|a-b|→b(a-b)≥0
解法
解決與絕對值有關的問題（如解絕對值不等式，解絕對值方程，研究含有絕對值符号的函數等等），其關鍵往往在于去掉絕對值符号。而去掉絕對值符号的基本方法有二。
以下，具體說說絕對值不等式的解法：
其一為平方，所謂平方，比如，|x|=3，可化為x^2=9，絕對值符号沒有了！
其二為讨論，所謂讨論，即x≥0時，|x|=x；x<0時，|x|=-x，絕對值符号也沒有了！
說到讨論，就是令絕對值中的式子等于0，分出x的段，然後根據每段讨論得出的x值，取交集，綜上所述即可。
其三為數形結合法，即在數軸上将各點畫出，将數轉換為長度的概念求解。
解法
解決與絕對值有關的問題（如解絕對值不等式，解絕對值方程，研究含有絕對值符号的函數等等），其關鍵往往在于去掉絕對值的符号。
而去掉絕對值符号的基本方法有二：其一為平方，其二為讨論。所謂平方，比如，|x|=3，可化為x^2;=9，絕對值符号沒有了！所謂讨論，即x≥0時，|x|=x；x<0時，|x|=-x，絕對值符号也沒有了！以下，具體說說絕對值不等式的解法。首先說“平方法”。
不等式兩邊可不可以同時平方，一般來說，有點問題。比如5>3，平方後，5^2;>3^2;，但1>-2，平方後，1^2;<(-2)^2;。
事實上，本質原因在于函數y=x^2;在R上不單調。但我們知道，y=x^2;在R+上是單調遞增的，因此不等式兩邊都是非負時，同時平方，不等号的方向不變，這是可以的。對兩個非負數來說，大的那個數，它的平方也相應會大一些;反過來，平方大一些的數，這個數本來也會大一些。比如|2x-1|≥1，兩邊同時平方，可得(2x-1)^2;≥1，整理得4x^2;-4x≥0，即4x(x-1)≥0，因此x≤0或x≥1。
高考要求
1理解不等式│a│-│b│≤│a+b│≤│a│+│b│
2．掌握解絕對值不等式等不等式的基本思路，會用分類、換元、數形結合的方法解不等式；
3、理解絕對值不等式的定義，掌握絕對值不等式的定理和推論，會用絕對值不等式的定理和推論解決絕對值不等式的有關證明問題。
4、解絕對值不等式的基本途徑是去掉絕對值符号，常用的方法是：（1）分類讨論；（2）平方；（3）利用絕對值不等式的性質，如
等
5、證明絕對值不等式的基本思想和基本方法分别是轉化思想和比較法，分析法，換元法，綜合法，放縮法，反證法等等
