歐拉示性數

定義

如果一個拓撲空間X有有限的三角剖 h：X→|K|，X的歐拉示性數定義為它的剖分複形K的各個維數單純形個數（即單純鍊複形的秩）的交錯和。

對于有限CW-複形(CW-Complex)包括有限單純複形(simplicial complex)，歐拉示性數可以定義為交錯和其中表示維胞腔的個數。

然後，可以把流形的歐拉示性數定義為一個和它同胚的單純複形的歐拉示性數。例如，圓圈和環面其歐拉示性數為0而實心球歐拉示性數為1。

閉可定向曲面的歐拉示性數可以通過它們的虧格g來計算

閉不可定向曲面的歐拉示性數可以用下式通過它們的(不可定向)虧格k來計算

歐拉示性數和三角化的選擇無關。公式也可用于到任意多邊形的分解。

對于圓盤，我們有,對于平面我們有,數的時候把外面作為一個面。

對于閉流形，歐拉示性數和歐拉數,也就是其切叢的在流形的基本類上計算的歐拉類。

對于閉黎曼曲面，歐拉示性數也可以通過曲率的積分得到—參看對于二維情況的高斯-博内定理(Gauss-Bonnet)和對于一般情況的廣義高斯-博内定理。高斯-博内定理的離散情況的對應是笛卡兒定理，它表明多面體用完整圓圈測量的“總虧量”，是多面體的歐拉示性數；參看虧量。

更一般的，對于所有拓撲空間，我們可以定義第n個貝蒂數作為第n個同調群的階。歐拉示性數可以定義為如下交換和

這個定義在貝蒂數全都有限并且在一個特定指标以外為0時有意義。

兩個同倫的拓撲空間有同構的同調群，所以有相同的歐拉示性數。

從這個定義和龐加萊對偶性，可以得到所有閉合奇數維流形的歐拉數為0的結論。

如果M和N是拓撲空間，則它們的積空間M×N的歐拉示性數為

經典公式

有關歐拉示性數的一個經典的公式是

其中是拓撲空間X的第i個貝蒂數，這一公式稱為歐拉-龐加萊公式。該公式亦說明了歐拉示性數不依賴于剖分的選取，是一個拓撲不變量。

由此，歐拉示性數可作進一步推廣。對于任意一個拓撲空間X，當求和存在時，這一整數稱為拓撲空間X歐拉示性數。