介紹
在數學，物理和工程上，張量場(tensor field)是一個的非常一般化的幾何變量的概念。它被用在微分幾何和流形的理論中，在代數幾何中，在廣義相對論中，在材料的應力和應變的分析中，和在物理科學和工程的無數應用中。它是向量場的想法的一般化，而向量場可以視為'從點到點會變化的向量'。
必須注意到很多不嚴格的稱為'張量'的數學結構實際上是'張量場',定義在流形上的場在流行的每點定義了一個張量。對張量的簡介請參看張量條目。
記号
張量場的記号和張量空間的極相近，有時會混淆。所以，切叢TM=T（M）以強調切叢是流形M的（1,0）型張量場的空間。搞混。在後一種情況，我們有一個張量空間，而在前一種情況我們有對流形每點有定義的張量空間。手寫體字母有時用于表示光滑的張量場。一個張量場是該集的一個元素。
應用
在數學，物理和工程上，張量場(tensor field)是一個的非常一般化的幾何變量的概念。它被用在微分幾何和流形的理論中，在代數幾何中，在廣義相對論中，在材料的應力和應變的分析中，和在物理科學和工程的無數應用中。它是向量場的想法的一般化，而向量場可以視為'從點到點會變化的向量'。
必須注意到很多不嚴格的稱為'張量'的數學結構實際上是'張量場',定義在流形上的場在流行的每點定義了一個張量。對張量的簡介請參看張量條目。
例如，曲率張量用在微分幾何中而應力能張量在物理和工程上很重要。這兩個都和愛因斯坦的廣義相對論理論相關。工程上，很多背景流形經常是歐幾裡得三維空間張量場賦予流形的任意給定點一個空間中的張量。
其中V是切空間而V是餘切空間，參看切叢和餘切叢。
幾何式介紹
矢量場的幾何直覺就是不同長度和方向的'箭頭'附着在一個區域的每一點。彎曲空間的向量場的例子可以有顯示在地球表面的水平風速的氣象圖。
張量場的一般想法綜合了更豐富的幾何信息—例如在度量張量的情況就是點到點變化的橢球—以及我們不需要把概念建立在曲面的特定映射方式上的思想。它應該獨立于緯度和經度存在，或任何我們用以引入數字坐标的特定的'繪圖映射'。
張量微積分
在理論物理和其他領域，用張量場表達的微分方程提供了表達本質上是幾何的（由張量的本質保證）并在傳統上和微積分相關的關系的一種極為通用的方式。表述這樣的方程需要一種新的概念，稱為協變導數。這個概念用于表述張量場沿着一個向量場的變化。最初的絕對微積分後來被稱為張量微積分，導緻了聯絡這個幾何概念被分離出來。
