圓:一種幾何圖形-中文百科頻道

圓的定義

第一定義

在同一平面内到定點的距離等于定長的點的集合叫做圓（circle）。這個定點叫做圓的圓心。

圓形一周的長度，就是圓的周長。能夠重合的兩個圓叫等圓，等圓有無數條對稱軸。

圓是一個正n邊形（n為無限大的正整數），邊長無限接近0但永遠無法等于0。

第二定義

平面内一動點到兩定點的距離之比（或距離的平方之比），等于一個不為1的常數，則此動點的軌迹是圓。

證明：點坐标為(x,y)與(x,y)，動點為(x,y)，距離比為k，由兩點距離公式。滿足方程

當k不為1時，整理得到一個圓的方程。

幾何法：假設定點為A，B，動點為P，滿足

，過P點作角APB的内、外角平分線，交AB與AB的延長線于C，D兩點由角平分線性質，角

。由角平分線定理：

，注意到唯一k确定了C和D的位置，C在線段AB内，D在AB延長線上，對于所有的P，P在以CD為直徑的圓上。

圓的對稱性

圓是軸對稱圖形，對稱軸在過圓心的直線上，圓有無數條對稱軸。

表示方式

圓—⊙ ；半徑—r或R（在環形圓中外環半徑表示的字母）；圓心—O；弧—⌒；直徑—d ；

扇形弧長—L ；周長—C ；面積—S。

計算公式

圓的周長公式

圓的周長：圓周長的一半

半圓的周長

圓的周長公式推導（此方面涉及到弧微分）

設圓的參數方程為，

圓在一周内周長的積分

代入，可得

即

圓的面積公式

圓的面積計算公式：

或

圓的面積求直徑：

把圓分成若幹等份，可以拼成一個近似的長方形。長方形的寬相當于圓的半徑。

圓錐側面積（l為母線長）

弧長角度公式

扇形弧長

（θ為圓心角）（R為扇形半徑）

扇形面積

（L為扇形的弧長）

圓錐底面半徑

（r為底面半徑）（n為圓心角）

扇形面積公式

R是扇形半徑，n是弧所對圓心角度數，π是圓周率，L是扇形對應的弧長。

也可以用扇形所在圓的面積除以360再乘以扇形圓心角的角度n，如下：

（L為弧長，R為扇形半徑）

推導過程:

位置關系

點和圓位置關系

①P在圓O外，則

。

②P在圓O上，則

。

③P在圓O内，則

。

反之亦然。

平面内，點P(x,y)與圓

的位置關系判斷一般方法是：

①如果

，則P在圓内。

②如果

，則P在圓上。

③如果

，則P在圓外。

直線和圓位置關系

①直線和圓無公共點，稱相離。 AB與圓O相離，

。

②直線和圓有兩個公共點，稱相交，這條直線叫做圓的割線。AB與⊙O相交，

。

③直線和圓有且隻有一公共點，稱相切，這條直線叫做圓的切線，這個唯一的公共點叫做切點。圓心與切點的連線垂直于切線。AB與⊙O相切，

。（d為圓心到直線的距離）

平面内，直線

與圓

的位置關系判斷一般方法是：

1.由

，可得

，（其中B不等于0），代入

，即成為一個關于x的方程

如果

，則圓與直線有2個公共點，即圓與直線相交。

如果

，則圓與直線有1個公共點，即圓與直線相切。

如果

，則圓與直線有無公共點，即圓與直線相離。

2.如果

即直線為

，即

，它平行于y軸（或垂直于x軸），将

化為

，令

，求出此時的兩個x值x、x，并且規定

，那麼：

當

或

時，直線與圓相離；

當

時，直線與圓相交。

圓和圓位置關系

①無公共點，一圓在另一圓之外叫外離，在之内叫内含。

②有唯一公共點的，一圓在另一圓之外叫外切，在之内叫内切。

③有兩個公共點的叫相交。兩圓圓心之間的距離叫做圓心距。

設兩圓的半徑分别為R和r，且

，圓心距為P，則結論：外離

；外切

；内含

；

内切

；相交

。

圓的性質

⑴圓是軸對稱圖形，其對稱軸是任意一條通過圓心的直線。圓也是中心對稱圖形，其對稱中心是圓心。

垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的2條弧。

垂徑定理的逆定理：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的2條弧。

⑵有關圓周角和圓心角的性質和定理

① 在同圓或等圓中，如果兩個圓心角，兩個圓周角，兩組弧，兩條弦，兩條弦心距中有一組量相等，那麼他們所對應的其餘各組量都分别相等。

②在同圓或等圓中，相等的弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半（圓周角與圓心角在弦的同側）。

直徑所對的圓周角是直角。90度的圓周角所對的弦是直徑。

圓心角計算公式：　

(弧度)。

即圓心角的度數等于它所對的弧的度數；圓周角的度數等于它所對的弧的度數的一半。

③ 如果一條弧的長是另一條弧的2倍，那麼其所對的圓周角和圓心角是另一條弧的2倍。

⑶有關外接圓和内切圓的性質和定理

①一個三角形有唯一确定的外接圓和内切圓。外接圓圓心是三角形各邊垂直平分線的交點，到三角形三個頂點距離相等；

②内切圓的圓心是三角形各内角平分線的交點，到三角形三邊距離相等。

③

（R：内切圓半徑，S：三角形面積，L：三角形周長）。

④兩相切圓的連心線過切點。（連心線：兩個圓心相連的直線）

⑤圓O中的弦PQ的中點M，過點M任作兩弦AB，CD，弦AC與BD分别交PQ于X，Y，則M為XY之中點。

（4）如果兩圓相交，那麼連接兩圓圓心的線段（直線也可）垂直平分公共弦。

（5）弦切角的度數等于它所夾的弧的度數的一半。

（6）圓内角的度數等于這個角所對的弧的度數之和的一半。

（7）圓外角的度數等于這個角所截兩段弧的度數之差的一半。

（8）周長相等，圓面積比正方形、長方形、三角形的面積大。

圓的方程

1、圓的标準方程：

在平面直角坐标系中，以點O（a，b）為圓心，以r為半徑的圓的标準方程是

。

特别地，以原點為圓心，半徑為r（

）的圓的标準方程為

。

2、圓的一般方程：

方程

可變形為

.故有：

（1）當

時，方程表示以

為圓心，以為半徑的圓；

（2）當

時，方程表示一個點

；

（3）當

時，方程不表示任何圖形。

3、圓的參數方程：

以點O（a，b）為圓心，以r為半徑的圓的參數方程是

（其中θ為參數）

圓的端點式：

若已知兩點A（a,b）,B（a,b），則以線段AB為直徑的圓的方程為

圓的離心率e=0，在圓上任意一點的曲率半徑都是r。

經過圓

上一點M（a，b）的切線方程為

在圓（

）外一點M（a，b）引該圓的兩條切線，且兩切點為A,B，則A,B兩點所在直線的方程也為

4、圓的三點式方程：過不共線的三點A(x,y),B(x,y),C(x,y)的圓的方程為

繪制方式

一般情況下可用圓規畫出圓形，或用一段繩子，一頭固定在地上，一頭轉，就能轉出圓，繩子越長，圓越大。

用AutoCAD繪圓

在AutoCAD“繪圖”下拉菜單中，列出了6種“圓”的繪制方法，簡述如下：

（1）利用圓心和半徑繪圓：用鼠标點取繪圖命令，然後根據提示操作；

（2）利用圓心和直徑繪圓：用鼠标點取繪圖命令，然後根據提示操作；

（3）以兩點确定直徑繪圓：用鼠标點取繪圖命令，然後根據提示操作；

（4）以三點确定直徑繪圓：用鼠标點取繪圖命令，然後根據提示操作；

（5）以确定半徑與兩個圖形對象相切繪圓：用鼠标點取繪圖命令，然後根據提示操作。

richtext控件繪圓

定義一個數組，該數組用來存儲一個或多個坐标（Point）

然後按照以下步驟來實現

1 生成一個控件（如Label）,并調整相應的屬性

2 在内存中建立一張臨時的圖像作為畫布，使用GDI+等各種繪圖，将圖像繪制到畫布上

3 将生成的控件Image或BackGroundImage屬性值設定為步驟2生成的圖像

4 使用RichTextBox1.Controls.Add方法，将控件添加進去（您可以指定它的坐标）

5 将當前已經添加的控件的坐标記錄在數組中（如對應第1個數據）

6 添加RichTextBox1.Scroll事件代碼，在該代碼中，

圓

過獲取滾動條的值來計算已添加控件應該所在的位置

說明：控件可以通過代碼生成（推薦）

該方法與網上流傳的QQ聊天窗口内RichTextBox方法不同，

屬于簡單型

您務必要定義一個數組，用來參與ScrollBar滾動時，将目标控件重新定位

曆史介紹

圓形，是一個看來簡單，實際上是十分奇妙的形狀。古代人最早是從太陽、陰曆十五的月亮得到圓的概念的。在一萬八千年前的山頂洞人曾經在獸牙、礫石和石珠上鑽孔，那些孔有的就很像圓。到了陶器時代，許多陶器都是圓的。圓的陶器是将泥土放在一個轉盤上制成的。當人們開始紡線，又制出了圓形的石紡錘或陶紡錘。古代人還發現搬運圓的木頭時滾着走比較省勁。後來他們在搬運重物的時候，就把幾段圓木墊在大樹、大石頭下面滾着走，這樣當然比扛着走省勁得多。

約在6000年前，美索不達米亞人，做出了世界上第一個輪子——圓型的木盤。大約在4000多年前，人們将圓的木盤固定在木架下，這就成了最初的車子。

會作圓，但不一定就懂得圓的性質。古代埃及人就認為：圓，是神賜給人的神聖圖形。一直到兩千多年前我國的墨子（約公元前468-前376年）才給圓下了一個定義：圓，一中同長也。意思是說：圓有一個圓心，圓心到圓周的長都相等。這個定義比希臘數學家歐幾裡得（約公元前330-前275年）給圓下定義要早100年。

任意一個圓的周長與它直徑的比值是一個固定的數，我們把它叫做圓周率，用字母π表示。它是一個無限不循環小數，

但在實際運用中一般隻取它的近似值，即

.如果用C表示圓的周長：

或

.《周髀算經》上說"周三徑一"，把圓周率看成3，但是這隻是一個近似值。美索不達來亞人在作第一個輪子的時候，也隻知道圓周率是3。魏晉時期的劉徽于公元263年給《九章算術》作注時，發現"周三徑一"隻是圓内接正六邊形周長和直徑的比值。他創立了割圓術，認為圓内接正多連形邊數無限增加時，周長就越逼近圓周長。他算到圓内接正3072邊形的圓周率，

。劉徽把極限的概念運用于解決實際的數學問題之中，這在世界數學史上也是一項重大的成就。祖沖之（公元429-500年）在前人的計算基礎上繼續推算，求出圓周率在3.1415926與3.1415927之間，是世界上最早的七位小數精确值，他還用兩個分數值來表示圓周率：

稱為約率，

稱為密率。在歐洲，直到1000年後的十六世紀，德國人鄂圖（公元1573年）和安托尼茲才得到這個數值。如今有了電子計算機，圓周率已經算到了小數點後五萬億位小數了。