基本介紹
畢達哥拉斯三元數組(Pythagorean triple)亦稱勾股數組，又稱商高數組，是一個著名的不定方程問題，指三元二次不定方程的正整數解。若正整數
能使成立，則是一個 畢達哥拉斯三元數組。本原畢達哥拉斯三元數組
當
時，則稱為本原畢達哥拉斯三元數組。找出所有畢達哥拉斯三元數組就等同于求出不定方程的所有正整數解。本原畢達哥拉斯三元數組亦稱為方程(1)的本原解，它有以下性質：1.若
是滿足方程(1)的本原畢達哥拉斯三元數組，則x，y中有且僅有一數為偶數。因此，z必為奇數。2.若
是滿足方程(1)的本原畢達哥拉斯三元數組，且設x為偶數，則存在正整數m和n，能使成立。3.若
則是滿足方程(1)的畢達哥拉斯三元數組。如果還有和則是本原畢達哥拉斯三元數組。相關介紹
中國古代數學書《周髀算經》中記載了托古傳聞商高答周公：“故折矩，以為勾廣三，股修四，徑隅五”。說明至少在成書時已經知道方程(1)的一個特解。畢達哥拉斯(Pythagoras)創立畢達哥拉斯學派，在數學方面給出了方程(1)的部分正整數解，後被歐幾裡得(Euclid)記入《幾何原本》中，并把表達直角三角形三邊關系的(1)式稱為畢達哥拉斯定理。費馬(P.deFermat)從1637年開始對丢番圖(Diophantus)的《算術》進行評注，導緻他提出了在數論發展史上非常重要的10個問題，其中有3個與勾股數組有關的問題是：
1.形如
的素數能夠而且隻能夠以一種方式表達為兩個平方數之和。1749年，歐拉(L.Euler)已給出了證明。近代有人把素數中的具體表示為，其中r，n滿足勒讓德符号并且2.每一個正整數能夠表成四個整數的平方和(參見“華林問題”)。3.不定方程
沒有的整數解。還有一個與畢達哥拉斯三元數組有關的猜想：設
是滿足不定方程(1)的畢達哥拉斯三元數組，且滿足，則此猜想仍未徹底解決。
