詞語定義
兩個實部相等，虛部互為相反數的複數互為共轭複數
(conjugate complex number)。（當虛部不等于0時也叫共轭虛數）複數z的共轭複數記作zˊ。
同時, 複數zˊ稱為複數z的複共轭(complex conjugate).
根據定義，若z=a+bi(a，b∈R)，則 zˊ=a－bi（a,b∈R)。共轭複數所對應的點關于實軸對稱（詳見附圖）。兩個複數:x+yi與x-yi稱為共轭複數,它們的實部相等,虛部互為相反數.在複平面上.表示兩個共轭複數的點關于X軸對稱.而這一點正是"共轭"一詞的來源.兩頭牛平行地拉一部犁,它們的肩膀上要共架一個橫梁,這橫梁就叫做"轭".如果用Z表示X+Yi,那麼在Z字上面加個"一"就表示X-Yi,或相反。
共轭複數有些有趣的性質:
︱x+yi︱=︱x-yi︱
(x+yi)*(x-yi)=x^2+y^2=︱x+yi︱^2=︱x-yi︱^2
另外還有一些四則運算性質.
代數特征
（1）|z|=|z′|。
（2）z+z′=2a（實數），z－z′=2bi。
（3）z·z′=|z|^2=a^2+b^2（實數）。
加法法則
複數的加法法則：設z1=a+bi,z2=c+di是任意兩個複數。兩者和的實部是原來兩個複數實部的和，它的虛部是原來兩個虛部的和。兩個複數的和依然是複數。即 (a+bi)±(c+di)=(a±c)+(b±d)i。
減法法則
複數的減法按照以下規定的法則進行：設z1=a+bi，z2=c+di是任意兩個複數，nn則它們的差是 (a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i。nn兩個複數的差依然是複數，它的實部是原來兩個複數實部的差，它的虛部是原來兩個虛部的差。
乘法法則
複數的乘法法則：把兩個複數相乘，類似兩個多項式相乘，結果中i^2 = -1，把實部與虛部分别合并。兩個複數的積仍然是一個複數。
即：z1z2=（a+bi)(c+di)=ac+adi+bci+bdi2=(ac－bd)+(bc+ad)i。
除法法則
複數除法定義：滿足（c+di)(x+yi)=(a+bi）的複數x+yi(x,y∈R）叫複數a+bi除以複數c+di的商運算方法：将分子和分母同時乘以分母的共轭複數，再用乘法法則運算。
開方法則
若z^n=r(cosθ+isinθ），則z=n√r[cos(2kπ+θ）/n+isin(2kπ+θ）/n]（k=0，1，2，3-n-1）
共轭法則
z=x+iy的共轭，标注為z*就是共轭數z*=x-iy
即：zz*=（x+iy)(x-iy)=x2-xyi+xyi-y2i2=x2+y2
即，當一個複數乘以他的共轭數，結果是實數。
z=x+iy和z*=x-iy 被稱作共轭對
運算特征
（1）(z1+z2)′=z1′+z2′
（2）(z1-z2)′=z1′-z2′
（3）(z1·z2)′=z1′·z2′
（4）(z1/z2)′=z1′/z2′(z2≠0)
總結：和（差、積、商）的共轭等于共轭的和（差、積、商）。
運算性質
①|z1·z2|=|z1|·|z2|
②③┃|z1|－|z2|┃≤|z1+z2|≤|z1|+|z2|
|z1－z2|=|z1－z2|，是複平面的兩點間距離公式，由此幾何意義可以推出複平面上的直線、圓、雙曲線、橢圓的方程以及抛物線
PS
:z′表示複數z的共轭複數(實際形式為z上一橫)，z″表示複數z的共轭複數的共轭複數(為z上兩橫)，即z〃=z。
