基本定義
由不在同一直線上的三條線段首尾順次連結所組成的封閉圖形叫做三角形。平面上三條直線或球面上三條弧線所圍成的圖形。三條直線所圍成的圖形叫平面三角形；三條弧線所圍成的圖形叫球面三角形，也叫三邊形。
分類
按角度分
a.銳角三角形：三個角都小于90度 。并不是有一個銳角的三角形，而是三個角都為銳角，比如等邊三角形也是銳角三角形。 并三條高交于一點。
b.直角三角形（簡稱Rt 三角形）：
（1）直角三角形兩個銳角互餘；
（2）直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半；
（3）在直角三角形中，如果有一個銳角等于30°，那麼它所對的直角邊等于斜邊的一半.；
（4）在直角三角形中，如果有一條直角邊等于斜邊的一半，那麼這條直角邊所對的銳角等于30°（和⑶相反）；
（5）在直角三角形中，兩條直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方，即a^2＋b^2=c^2（勾股定理）；
（6）斜邊上的中線是外接圓半徑；
（7）有一個角是90度的三角形，夾90度的兩邊稱為“直角邊”，直角的對邊稱為“斜邊”。 (非直角三角形也稱斜三角形，包括銳角三角形、鈍角三角形)。
（8）在直角三角形中，斜邊的長度是直角對應的兩條直角邊的2^1/2倍。
（9）直角三角形的兩條高是那兩條直角邊。
c.鈍角三角形：有一個角為鈍角的三角形 。鈍角三角形有兩條高在鈍角三角形的外面,鈍角為大于90°且小于180°，并有兩條高不在三角形裡面。
d.正三角形：三個角度數相等（即三角都為60度），三條邊也相等，也稱等邊三角形。
按邊長分
a.等腰三角形：兩條邊相等的三角形。又可分為三條邊都相等的等腰三角形，即等邊三角形，和隻有兩條邊相等的等腰三角形。普通等腰三角形中，兩條相等的邊稱為“腰”，第三邊叫做“底邊”，腰對應的角（稱為底角）也是相等的。
b.不等邊三角形：三條邊均不相等的三角形（此解釋有誤，因為等腰三角形也不是等邊三角形，應改為：三條變不均相等的三角形。）。
特殊三角形
退化三角形：面積為零的三角形。（退化三角形按照狹義的三角形定義其實不屬于三角形。）
周長公式
若一個三角形的三邊分别為a、b、c，則L=a+b+c
四線
中線
連接三角形的一個頂點及其對邊中點的線段叫做三角形的中線（median）。
高
從一個頂點向它的對邊所在的直線畫垂線，頂點和垂足之間的線段叫做三角形的高（altitude）。
角平分線
三角形一個内角的平分線與這個角的對邊相交，這個角的頂點與交點之間的線段叫做三角形的角平分線（bisector of angle）。
中位線
三角形的三邊中任意兩邊中點的連線叫中位線。它平行于第三邊且等于第三邊的一半。切記，中位線沒有逆定理。
邊角關系
三角函數給出了直角三角形中邊和角的關系，可以用來解三角形。
三角函數是數學中屬于初等函數中超越函數的一類。請參考相關詞條。
特殊點、線
五心、四圓、三點、一線：這些是三角形的全部特殊點，以及基于這些特殊點的相關幾何圖形。“五心”指重心、垂心、内心、外心和旁心；“四圓”為内切圓、外接圓、旁切圓和歐拉圓；“三點”是勒莫恩點、奈格爾點和歐拉點；“一線”即歐拉線。
五心的距離
OH²=9R²–(a²+b²+c²),
OG²=R²–(a²+b²+c²)/9,
OI²=R²–abc/(a+b+c)=R²–2Rr
GH²=4OG²
GI²=(p²+5r²–16Rr)/9,
HI²=4R²-p²+3r²+4Rr=4R²+2r²-(a²+b²+c²)/2,
其中，R是外接圓半徑；r是内切圓半徑。
穩定性
在所有平面多邊形中，唯三角形具穩定性。
證明
任取三角形兩條邊，則兩條邊的非公共端點被第三條邊連接。
∴第三條邊不可伸縮或彎折
∴兩端點距離固定
∴這兩條邊的夾角固定
∵這兩條邊是任取的
∴三角形三個角都固定，進而将三角形固定
∴三角形有穩定性
任取n邊形（n≥4）兩條相鄰邊，則兩條邊的非公共端點被不止一條邊連接
∴兩端點距離不固定
∴這兩邊夾角不固定
∴n邊形（n≥4）每個角都不固定
∴n邊形（n≥4）沒有穩定性
證畢。
作用
三角形的穩定性使其不像四邊形那樣易于變形，有着穩固、堅定、耐壓的特點。三角形的結構在工程上有着廣泛的應用。許多建築都是三角形的結構，如：埃菲爾鐵塔，埃及金字塔等等。
有關定理
中位線定理
中線定理
三角形内角和定理
三邊關系定理
勾股定理
射影定理
正弦定理
餘弦定理
梅涅勞斯定理
塞瓦定理
莫利定理
共角定理
重心定理
内心定理
旁心定理
歐拉線定理
費爾巴哈定理
拿破侖定理
相關定理
重心定理
三角形的三條中線交于一點，這點到頂點的距離是它到對邊中點距離的2倍．
上述交點叫做三角形的重心.
外心定理
三角形的三邊的垂直平分線交于一點．
這點叫做三角形的外心.
垂心定理
三角形的三條高交于一點．
這點叫做三角形的垂心.
内心定理
三角形的三内角平分線交于一點．
這點叫做三角形的内心.
旁心定理
三角形一内角平分線和另外兩頂點處的外角平分線交于一點．
這點叫做三角形的旁心．三角形有三個旁心．
三角形的重心、外心、垂心、内心、旁心稱為三角形的五心．
它們都是三角形的重要相關點．
中位線定理
三角形的中位線平行于第三邊且等于第三邊的一半．
三邊關系定理
三角形任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊．
勾股定理
勾股定理是一個基本的幾何定理，直角三角形兩直角邊（即“勾”，“股”）邊長平方和等于斜邊（即“弦”）邊長的平方。也就是說，設直角三角形兩直角邊為a和b，斜邊為c，那麼a²+b²=c² 。勾股定理現發現約有400種證明方法，是數學定理中證明方法最多的定理之一。
梅涅勞斯定理
梅涅勞斯（Menelaus）定理是由古希臘數學家梅涅勞斯首先證明的。它指出：如果一條直線與△ABC的三邊AB、BC、CA或其延長線交于F、D、E點，那麼(AF/FB)×(BD/DC)×(CE/EA)=1。
證明：
過點A作AG∥BC交DF的延長線于G,
則AF/FB=AG/BD，BD/DC=BD/DC，CE/EA=DC/AG。
三式相乘得：AF/FB×BD/DC×CE/EA=AG/BD×BD/DC×DC/AG=1
它的逆定理也成立：若有三點F、D、E分别在的邊AB、BC、CA或其延長線上，且滿足(AF/FB)×(BD/DC)×(CE/EA)=1，則F、D、E三點共線。利用這個逆定理，可以判斷三點共線。
塞瓦定理
設O是△ABC内任意一點，AO、BO、CO分别交對邊于D、E、F，則BD/DC*CE/EA*AF/FB=1
證明：
（Ⅰ）本題可利用梅涅勞斯定理證明：
∵△ADC被直線BOE所截，
∴CB/BD*DO/OA*AE/EC=1①
而由△ABD被直線COF所截，∴BC/CD*DO/OA*AF/BF=1②
②÷①:即得：BD/DC*CE/EA*AF/FB=1
（Ⅱ）也可以利用面積關系證明
∵BD/DC=S△ABD/S△ACD=S△BOD/S△COD=(S△ABD-S△BOD)/(S△ACD-S△COD)=S△AOB/S△AOC③
同理CE/EA=S△BOC/S△AOB④AF/FB=S△AOC/S△BOC⑤
③×④×⑤得BD/DC*CE/EA*AF/FB=1
利用塞瓦定理證明三角形三條高線必交于一點:
設三邊AB、BC、AC的垂足分别為D、E、F，
根據塞瓦定理逆定理，因為(AD:DB)*(BE:EC)*(CF:FA)=[(CD*ctgA）/[(CD*ctgB）]*[(AE*ctgB)/(AE*ctgC)]*[(BF*ctgC)/
[(AE*ctgB)]=1，所以三條高CD、AE、BF交于一點。
将三角形的三個内角三等分，靠近某邊的兩條三分角線相交得到一個交點，則這樣的三個交點可以構成一個正三角形。這個三角形常被稱作莫利正三角形。
