一般
設三角形三邊為a,b,c則
a+b>c,a>c-b
b+c>a,b>a-c
a+c>b,c>b-a
如圖1，任意△ABC，求證AB+AC>BC。
證明：在BA的延長線上取AD=AC
則∠D=∠ACD（等邊對等角）
∵∠BCD>∠ACD
∴∠BCD>∠D
∴BD>BC（大角對大邊）
∵BD=AB+AD=AB+AC
∴AB+AC>BC
三角形的關系
一般三角形
設三角形三邊為AC,BC,AB,
點D垂直于AB，為三角形ABC的高
如圖2，利用勾股定理，得
AC2-AD2=CD2① CB2-BD2=CD2 ②
①=②
AC2-AD2 =CB2-BD2
因為 AD+BD=AB
所以 AC2-(AB-BD)2=CB2-BD2 ③
同樣也有AC2-AD2=CB2-（AB-AD)2 ④
③化簡得：(AB2+CB2-AC2)÷2AB=BD
④化簡得：(AB2-CB2+AC2)÷2AB=AD
特殊
直角三角形
性質1：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方。 性質2：在直角三角形中，兩個銳角互餘。 性質3：在直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半。
性質4：直角三角形的兩直角邊的乘積等于斜邊與斜邊上高的乘積。 性質5:如圖3，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD是斜邊BC上的高，則有射影定理如下：
（1） AD^2=BD·DC，
（2） AB^2=BD·BC ， 射影定理圖
（3） AC^2=CD·BC 。 等積式 （4）ABXAC=ADXBC (可用面積來證明） (5)直角三角形的外接圓的半徑R=1/2BC,
(6)直角三角形的内切圓的半徑r=1/2(AB+AC-BC)(公式一)；r=AB*AC/(AB+BC+CA)(公式二)
等腰直角三角形三邊之比：1:1:根号二
