超乘方

運算法則

“超乘方運算的運算法則是什麼？

對于任意兩個正整數的超乘方運算，可将被超乘方數和超乘方數分别用加法、乘法、或乘方進行盡可能的優化分解；然後利用二項式定理展開運算，再将所有結果相加、相乘、或相乘方，既得要求的超乘方幂。這就是超乘方運算的運算法則。超乘方”即在一個乘方頭上還有一個乘方，如 右圖，就是一個超乘方。

一個數的平方是a乘a 叫做a的2次方

而一個數的超乘方是a乘（a乘a）叫做a的3級超乘方 見下文

實際應用

引用 ——文章（比乘法更大的是乘方，比乘方更大的是什麼？）

小學時，老師說，由于生活中經常需要把同一個數加很多很多次，因此人們發明了乘法。

很容易想到，比乘方更大一級的運算就是把 b 個“a 次方”重疊起來。不過，這裡我們卻遇到了一個之前不曾遇到的問題： a ^ a ^ a 究竟應該等于

難道兩種不同的計算順序，得到的結果總是相同的嗎？讓我們換

哇，這下可就差遠了。可以想象，如果把“a 次方”再多叠代幾次，從右往左算和從左往右算會差得更多。恐怖的是，當有多重指數時，運算正是按照從右往左算的順序進行的。試想，若有一種運算專門用來表示 b 個 a 構成的指數塔，這種運算的威力會多大。

1947 年，數學家 Goodstein 發現，不管初始時選取哪個自然數，按照某種預先定義好的規則進行叠代，數列最終将變成 0。但是，數列收斂到 0 的速度極其緩慢，以至于 Goodstein 需要處理一些連乘方也無法表達出來的大數。于是， Goodstein 便正式提出了這種超越乘方的運算。他把 b 個指數 a 叠代的結果記為ba ，也就是把 b 放在 a 的左上角。在國外的一些論壇上，有時也能看見 a^^b 的表示方法，便于在純文本格式下的傳播。不過，當時 Goodstein 并沒有用超級幂 (superexponentiation) 一詞，而是用的 tetration 一詞。這是由前綴“四” (tetra-) 和叠代 (iteration) 一詞合成的，意即排在加法、乘法、乘方之後的第四級運算。事實上， tetration 比 superexponentiation 更常用一些。網上甚至有一個tetration 論壇，論壇裡活躍着一群熱愛 tetration 的數學 geek。

超級幂是一個極為厲害的運算，它的增長速度非常驚人。在很小的數之間進行超級幂運算，就有可能得到一個巨大的天文數字。32 等于

我們能輕松定義出超級幂的概念，但為什麼這個東西卻如此“小衆”呢？當然，超級幂缺乏很多加減乘除和乘方運算具有的性質，這是一個重要的原因；不過，我想應該還有一個最基本的原因吧——超級幂本身沒有什麼實用價值。重複對折紙張、增長率的疊加、賭博遊戲中的翻番，它們都可以用乘方來描述。實際生活中有什麼事情正好能用超級幂來描述的嗎？我想應該不會有吧。

人類的想象力是無止境的。即使超級幂已經大到無法用言語描述的地步，大家還是會問，再把“a 次超級幂”叠代 b 層（注意運算順序仍是從最深那一層開始），又會得到什麼？是否就得到了第五級的運算呢？或許你馬上就意識到了，這樣擴展上去是沒有盡頭的，每一級運算叠代之後都能産生更高一級的運算。雖然此時腦子已經有點亂了，但是數學語言的嚴格性和理想性告訴我們，利用某種清晰的數學符号和遞歸法則，我們一定有辦法定義出等級越來越高的運算來。

Goodstein 牛就牛在這兒。他定義了 Goodstein 記号 G(n, a, b) ，來表示 a 與 b 之間的第 n 級運算。當

其中邊界值為

…

這就形式化地給出了第 n 級運算的意思。

類似的東西不止一次地被提出過。兩年前給大家介紹過世界上最大的數，當時就用到了 Knuth 箭頭記号。這也是一種表示大數的方法，其思想與 Goodstein 記号幾乎完全一樣。 Ackermann 函數也是一個神速增長的函數，它的定義也有異曲同工之處。很多外文數學論壇則用 a [n] b 來表示 a 與 b 之間的第 n 級運算，是我比較喜歡的一種符号。

當然，有