定義
直線
（Straight line）是幾何學基本概念，是點在空間内沿相同或相反方向運動的軌迹。或者定義為：曲率最小的曲線（以無限長為半徑的圓弧）。
從平面解析幾何的角度來看，平面上的直線就是由平面直角坐标系中的一個二元一次方程所表示的圖形。
求兩條直線的交點，隻需把這兩個二元一次方程聯立求解，當這個聯立方程組無解時，二直線平行；有無窮多解時，二直線重合；隻有一解時，二直線相交于一點。常用直線與X 軸正向的夾角（ 叫直線的傾斜角）或該角的正切（稱直線的斜率）來表示平面上直線(對于X軸)的傾斜程度。可以通過斜率來判斷兩條直線是否互相平行或互相垂直，也可計算它們的交角。直線與某個坐标軸的交點在該坐标軸上的坐标，稱為直線在該坐标軸上的截距。直線在平面上的位置，由它的斜率和一個截距完全确定。
在空間，兩個平面相交時，交線為一條直線。因此，在空間直角坐标系中，用兩個表示平面的三元一次方程聯立，作為它們相交所得直線的方程。
空間直線的方向用一個與該直線平行的非零向量來表示，該向量稱為這條直線的一個方向向量。直線在空間中的位置，由它經過的空間一點及它的一個方向向量完全确定。在歐幾裡得幾何學中，直線隻是一個直觀的幾何對象。在建立歐幾裡得幾何學的公理體系時，直線與點、平面等都是不加定義的，它們之間的關系則由所給公理刻畫。
在非歐幾何中直線指連接兩點間最短的線，又稱短程線。
方向向量：截取直線l上兩點A（l,n,0）和B（k+l,m+n,1）方向向量為：AB=（k,m,1）
目錄介紹
歐幾裡得的《幾何原本》共有十三卷。
第一卷：幾何基礎重點内容有三角形全等的條件（全等三角形判定定理），三角形邊和角的大小關系，平行線理論，三角形和多角形等積（面積相等）的條件，第一卷最後兩個命題是畢達哥拉斯定理（又稱畢氏定理）的正逆定理；
第二卷：幾何與代數
講如何把三角形變成等積的正方形；其中12、13命題相當于餘弦定理。
第三卷：圓與角
本卷闡述圓，弦，切線，割線，圓心角，圓周角的一些定理。
第四卷：圓與正多邊形
讨論圓内接四邊形和外切多邊形的尺規作圖作法和性質。
第五卷：比例
讨論比例理論，多數是繼承自歐多克斯的比例理論,被認為是"最重要的數學傑作之一"。
第六卷：相似
講相似多邊形理論，并以此闡述了比例的性質。
第七、八、第九、第十卷：初等幾何數論講述算術的理。第十卷是篇幅最大的一卷，主要讨論無理數（與給定的量不可通約的量），其中第一命題是極限思想的雛形。
第十一卷：立體幾何
第十二卷：立體的測量
第十三卷：建正多面體
最後講述立體幾何的内容以及立體幾何的相關體積、側面積、表面積的計算與證明。
從這些内容可以看出，目前屬于中學課程裡的初等幾何的主要内容已經完全包含在《幾何原本》裡了。因此長期以來，人們都認為《幾何原本》是兩千多年來傳播幾何知識的标準教科書。屬于《幾何原本》内容的幾何學，人們把它叫做歐幾裡得幾何學，或簡稱為歐氏幾何。
直線的對稱性
直線是軸對稱圖形。它有無數條對稱軸，其中一條是它本身，還有任意一條與它垂直的直線。
因為在直線的任意一點作它的垂線，直線可以看作被分成兩條方向相反的射線，将一條射線沿這條垂線折疊，這兩條射線就重合了。所以說，直線有無數條對稱軸。
特點
沒有端點，可以向兩端無限延長，長度無法度量。
直線的方程
平面方程
1、一般式：适用于所有直線
Ax+By+C=0(其中A、B不同時為0)
2、點斜式：知道直線上一點(x0，y0)，并且直線的斜率k存在，則直線可表示為
y-y0=k(x-x0)
當k不存在時，直線可表示為
x=x0
3、斜截式：在y軸上截距為b（即過(0，b)），斜率為k的直線
由點斜式可得斜截式y=kx+b
與點斜式一樣，也需要考慮K存不存在
4、截距式：不适用于和任意坐标軸垂直的直線
知道直線與x軸交于(a，0)，與y軸交于(0，b)，則直線可表示為
bx+ay-ab=0
特别地，當ab均不為0時，斜截式可寫為x/a+y/b=1
5、兩點式：過(x1，y1)(x2，y2)的直線
(y-y1)/(y1-y2)=(x-x1)/(x1-x2)（斜率k需存在）
6、法線式
Xcosθ+ysinθ-p=0
其中p為原點到直線的距離，θ為法線與X軸正方向的夾角
7、點方向式（X-X0）/U=(Y-Y0)/V
(U，V不等于0，即點方向式不能表示與坐标平行的式子)
8、點法向式
a（X-X0）+b（y-y0）=0
空間方程
1、一般式
ax+bz+c=0,dy+ez+fc=0
2、點向式：
設直線方向向量為（u,v,w），經過點（ x0,y0,z0）
（X-X0）/u=(Y-Y0)/v=(x-x0)/w
3、x0y式
x=kz+b,y=lz+b
直線與一次函數
一次函數y=kx+b(x∈R,k∈R,b∈R,y∈R)的圖象是一條直線,其與y軸交于(0,b),與x軸交于(-b/k,0)
仰角(與x軸正半軸的交角θ∈(0,π))滿足
(1)當θ∈(0,π/2)時,θ=arctank
(2)當θ∈(π/2,π)時,θ=π + arctank
直線的位置關系
直線和直線
平面幾何：平行和相交
在同一平面的兩條直線之間，有平行、相交（包括垂直）、重合三種位置關系。
設直角坐标平面上兩條直線的方程分别為：
L1：a1X+b1Y+c1=0
L2：a2X+b2Y+c2=0
當a1/a2≠b1/b2則兩直線相交
當a1/a2=b1/b2≠c1/c2則兩直線平行
當a1/a2=b1/b2=c1/c3則兩直線重合
當a1a2+b1b2=0則兩直線垂直
空間幾何：異面，平行和相交
l1：x=kz+b,y=lz+a l2:x=k1z+b1,l1z+a1=y
相交：有公共點
平行：k1/k=l1/l
異面：無公共點且k1/k≠l1/l
垂直：k*k1+l*l1=-1
直線和平面
設直線方程為x=kz+b,y=lz+a,平面方程為cx+dy+ez+f=0,p=k+l+e,q=a+b+f 屬于：p=0,q=0 平行：p=0,q≠0 相交：p≠0
直線公理
在平面上過兩點有且隻有一條直線，即兩點确定一條直線。
而在球面上，過兩點可以做無數條直線。
有關直線
角
設平面e的法向量為c直線m、n的方向向量為a、b
把平面ax+by+cz+d=0的法向量為（a,b,c）；直線x=kz+b,y=lz+a的方向向量為(k,l,1)代入即可
則直線所成的角：m，n所成的角為a。
cosa=cos
=|a*b|/|a||b|
直線和平面所成的角：設b為m和e所成的角，則b=π/2±
。sinb=|cos
|=|a*c|/|a||c|
平面兩直線所成的角：設K(l1)=k1,K(l2)=k2(k1k2≠-1)tan
=(k1-k2)/(1+k1k2)
距離
異面直線的距離：l1、l2為異面直線，l1，l2公垂直線的方向向量為n，C、D為l1、l2上任意一點，l1到l2的距離為|AB|=|CD*n|/|n|
點到平面的距離：設PA為平面的一條斜線，O是P點在a内的射影，PA和a所成的角為b，n為a的法向量。
易得：|PO|=|PA|sinb=|PA|*|cos
|=|PA|*(|PA*n|/|PA||n|)=|PA*n|/|PA|
直線到平面的距離為在直線上一點到平面的距離；
點到直線的距離：A∈l,O是P點在l上的射影，PA和l所成的角為b，s為l的方向向量。
易得：|PO|=|PA|*|sinb|=|PA|*|sin
|=|(PA|^2|s|^2|-|PA*s|^2)^1/2/|s|
平面内：直線ax+by+c=0到M(m,n)的距離為|am+bn+c|/(a^2+b^2)^1/2
平行直線：l1ax+by+c=0,l2ax+by+d=0l1到l2的距離為|c-d|/(a^2+b^2)^1/2
備注：
直線是曲線的暫短停留。
