定理定義
如果是代數數，在有理數内是線性獨立的，那麼在内是代數獨立的；也就是說，擴張域在内具有超越次數。
一個等價的表述是：如果是不同的代數數，那麼指數在代數數範圍内是線性獨立的。
定理推廣
e和π的超越性
e和π的超越性是這個定理的直接推論。
利用反三角函數序列｛ａｒｃｃｏｓｃｏｓ（πｎ）｝的一個線性序列ｄｅｇ（ｃｎπ）＝１，去逼近ｄｅｇ（πｎ）＝ｎ的一個有理系數的多項式的方法去證明π為超越數。從而改進了１８８２年德國數學家林德曼關于的超越性證明。
假設是一個非零的代數數，那麼在有理數範圍内是線性獨立的集合，因此根據定理的第一種表述，是一個代數獨立的集合，也就是說，是超越數。特别地，是超越數。
另外，利用定理的第二種表述，我們可以證明，如果是一個非零的代數數，那麼就是不同的代數數的集合，因此集合在代數數範圍内是線性獨立的，特别地，不能是代數數，因此一定是超越數。
我們來證明是超越數。如果v是代數數，2也是代數數（因為2是代數數），那麼根據林德曼-魏爾斯特拉斯定理，（參見歐拉公式）也是超越數，這與-1是代數數的事實矛盾。
把這個證明稍微改變以下，可以證明如果α是一個非零的代數數，那麼sin(α)、cos(α)、tan(α)和它們的雙曲函數也是超越數。
p進數猜想
進數林德曼-魏爾斯特拉斯猜想，就是這個定理在進數中也成立：假設是素數，是進數，它們都是代數數，且在内線性獨立，使得對于所有的，都有。那麼進指數在内是代數獨立的。
驗證推導
假設是一個無界序列，則有一個子序列使得存在。由于是無界的，故而對于所有的，中的元素的絕對值無限次超過k。
令。不難發現，集合非空。
