曆史地位
集合在數學領域具有無可比拟的特殊重要性。集合論的基礎是由德國數學家康托爾在19世紀70年代奠定的,經過一大批卓越的科學家半個世紀的努力,到20世紀20年代已确立了其在現代數學理論體系中的基礎地位,可以說,現代數學各個分支的幾乎所有成果都構築在嚴格的集合理論上。
概念
集合的有關概念
集合(集):某些指定的對象集在一起就成為一個集合(集).其中每一個對象叫元素。
注意:
①集合與集合的元素是兩個不同的概念,教科書中是通過描述給出的,這與平面幾何中的點與直線的概念類似。
②集合中的元素具有确定性(a?A和a?A,二者必居其一)、互異性(若a?A,b?A,則a≠b)和無序性({a,b}與{b,a}表示同一個集合)。
③集合具有兩方面的意義,即:凡是符合條件的對象都是它的元素;隻要是它的元素就必須符号條件。
基數
一定範圍的,确定的,可以區别的事物,當作一個整體來看待,就叫做集合,簡稱集,其中各事物叫做集合的元素或簡稱元。如(1)阿Q正傳中出現的不同漢字(2)全體英文大寫字母。任何集合是它自身的子集.
元素與集合的關系:
元素與集合的關系有“屬于”與“不屬于”兩種。
集合的分類:
并集:以屬于A或屬于B的元素為元素的集合稱為A與B的并(集),記作A∪B(或B∪A),讀作“A并B”(或“B并A”),即A∪B={x|x∈A,或x∈B}
例如,全集U={1,2,3,5},A={1,3,5},B={1,2,5}。
它們兩個集合中含有1,2,3,5這4個元素,不管元素的出現次數,隻要元素出現在這兩個集合中。那麼說A∪B={1,2,3,5}。 圖中的陰影部分就是A∩B。
交集:以屬于A且屬于B的元素為元素的集合稱為A與B的交(集),記作A∩B(或B∩A),讀作“A交B”(或“B交A”),即A∩B={x|x∈A,且x∈B}
例如,全集U={1,2,3,4,5},A={1,3,5},B={1,2,5}。那麼因為A和B中都有1,5,所以A∩B={1,5}。
有趣的是;例如在1到105中不是3,5,7的整倍數的數有多少個。結果是3,5,7每項減1再相乘。48個。
基數
集合A中不同元素的數目稱為集合A的基數,記作card(A)。當其為有限大時,集合A稱為有限集,反之則為無限集。
無限集:定義:集合裡含有無限個元素的集合叫做無限集。
有限集:令N*是正整數的全體,且N_n={1,2,3,……,n},如果存在一個正整數n,使得集合A與N_n一一對應,那麼A叫做有限集合。
差:以屬于A而不屬于B的元素為元素的集合稱為A與B的差(集)
注:空集包含于任何集合,但不能說“空集屬于任何集合”。
補集:屬于全集U不屬于集合A的元素組成的集合稱為集合A的補集,記作CuA,即CuA={x|x∈U,且x不屬于A}
空集也被認為是有限集合。
例如,全集U={1,2,3,4,5},而A={1,2,5}那麼全集有而A中沒有的3,4就是CuA,是A的補集。CuA={3,4}。
幂集
定義:設有集合A,由集合A所有子集組成的集合,稱為集合A的幂集。
定理:有限集A的幂集的基數等于2的有限集A的基數次幂。
在信息技術當中,常常把CuA寫成~A。
某些指定的對象集在一起就成為一個集合,含有有限個元素叫有限集,含有無限個元素叫無限集,空集是不含任何元素的集,記做Φ。空集是任何集合的子集,是任何非空集的真子集,任何集合是它本身的子集,子集、真子集都具有傳遞性。
『說明一下:如果集合A的所有元素同時都是集合B的元素,則A稱作是B的子集。若A是B的子集,且A不等于B,則A稱作是B的真子集。所有男人的集合是所有人的集合的真子集。』
性質
1.确定性:每一個對象都能确定是不是某一集合的元素,沒有确定性就不能成為集合,例如“個子高的同學”“很小的數”都不能構成集合。這個性質主要用于判斷一個集合是否能形成集合。
2.互異性:集合中任意兩個元素都是不同的對象。如寫成{1,1,2},等同于{1,2}。互異性使集合中的元素是沒有重複,兩個相同的對象在同一個集合中時,隻能算作這個集合的一個元素。
3.無序性:{a,b,c}{c,b,a}是同一個集合。
4.純粹性:所謂集合的純粹性,用個例子來表示。集合A={x|x<2},集合A中所有的元素都要符合x<2,這就是集合純粹性。
5.完備性:仍用上面的例子,所有符合x<2的數都在集合A中,這就是集合完備性。完備性與純粹性是遙相呼應的。
集合有以下性質:若A包含于B,則A∩B=A,A∪B=B
集合的表示方法:常用的有列舉法和描述法。
1.列舉法﹕常用于表示有限集合,把集合中的所有元素一一列舉出來﹐寫在大括号内﹐這種表示集合的方法叫做列舉法。{1,2,3,……}
2.描述法﹕常用于表示無限集合,把集合中元素的公共屬性用文字﹐符号或式子等描述出來﹐寫在大括号内﹐這種表示集合的方法叫做描述法。{x|P}(x為該集合的元素的一般形式,P為這個集合的元素的共同屬性)如:小于π的正實數組成的集合表示為:{x|0
3.圖式法(Venn圖)﹕為了形象表示集合,我們常常畫一條封閉的曲線(或者說圓圈),用它的内部表示一個集合。
特性
确定性
給定一個集合,任給一個元素,該元素或者屬于或者不屬于該集合,二者必居其一,不允許有模棱兩可的情況出現。
互異性
一個集合中,任何兩個元素都認為是不相同的,即每個元素隻能出現一次。有時需要對同一元素出現多次的情形進行刻畫,可以使用多重集,其中的元素允許出現多次。
無序性
集合的無序性是指表示一個集合時,構成這個集合的元素是無序的。集合上可以定義序關系,定義了序關系後,元素之間就可以按照序關系排序。但就集合本身的特性而言,元素之間沒有必然的序。(參見序理論)
符号表示規則
元素則通常用a,b,c,d或x等小寫字母來表示;而集合通常用A,B,C,D或X等大寫字母來表示。當元素a屬于集合A時,記作a∈A。假如元素a不屬于A,則記作a∉A。如果A和B兩個集合各自所包含的元素完全一樣,則二者相等,寫作A=B。
符号
(1)全體非負整數的集合通常簡稱非負整數集(或自然數集),記作N
(2)非負整數集内排除0的集,也稱正整數集,記作N+(或N*)
(3)全體整數的集合通常稱作整數集,記作Z
(4)全體有理數的集合通常簡稱有理數集,記作Q
(5)全體實數的集合通常簡稱實數集,記作R
(6)複數集合計作C
集合的運算:
集合交換律
A∩B=B∩A
A∪B=B∪A
集合結合律
(A∩B)∩C=A∩(B∩C)
(A∪B)∪C=A∪(B∪C)
集合分配律
A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)
A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C)
集合德.摩根律
Cu(A∩B)=CuA∪CuB
Cu(A∪B)=CuA∩CuB
集合“容斥原理”
在研究集合時,會遇到有關集合中的元素個數問題,我們把有限集合A的元素個數記為card(A)。例如A={a,b,c},則card(A)=3
card(A∪B)=card(A)+card(B)-card(A∩B)
card(A∪B∪C)=card(A)+card(B)+card(C)-card(A∩B)-card(B∩C)-card(C∩A)+card(A∩B∩C)
1885年德國數學家,集合論創始人康托爾談到集合一詞,列舉法和描述法是表示集合的常用方式。
集合吸收律
A∪(A∩B)=A
A∩(A∪B)=A
集合求補律
A∪CuA=S
A∩CuA=Φ
設A為集合,把A的全部子集構成的集合叫做A的幂集
德摩根律:A-(BUC)=(A-B)∩(A-C)
A-(B∩C)=(A-B)U(A-C)
~(BUC)=~BU~C
~(B∩C)=~B∩~C
~Φ=E~E=Φ
模糊集
用來表達模糊性概念的集合,又稱模糊集、模糊子集。普通的集合是指具有某種屬性的對象的全體。這種屬性所表達的概念應該是清晰的,界限分明的。
因此每個對象對于集合的隸屬關系也是明确的,非此即彼。但在人們的思維中還有着許多模糊的概念,例如年輕、很大、暖和、傍晚等,這些概念所描述的對象屬性不能簡單地用“是”或“否”來回答,模糊集合就是指具有某個模糊概念所描述的屬性的對象的全體。
由于概念本身不是清晰的、界限分明的,因而對象對集合的隸屬關系也不是明确的、非此即彼的。這一概念是美國加利福尼亞大學控制論專家L.A.紮德于1965年首先提出的。
模糊集合這一概念的出現使得數學的思維和方法可以用于處理模糊性現象,從而構成了模糊集合論(中國通常稱為模糊性數學)的基礎。