性質
（矩形、菱形、正方形都是特殊的平行四邊形。）
性質：
（1）如果一個四邊形是平行四邊形，那麼這個四邊形的兩組對邊分别相等。
（簡述為“平行四邊形的兩組對邊分别相等”）
（2）如果一個四邊形是平行四邊形，那麼這個四邊形的兩組對角分别相等。
（簡述為“平行四邊形的兩組對角分别相等”）
（3）如果一個四邊形是平行四邊形，那麼這個四邊形的鄰角互補。
（簡述為“平行四邊形的鄰角互補”）
（4）夾在兩條平行線間的平行的高相等。（簡述為“平行線間的高距離處處相等”）
（5）如果一個四邊形是平行四邊形，那麼這個四邊形的兩條對角線互相平分。
（簡述為“平行四邊形的對角線互相平分”）
（6）連接任意四邊形各邊的中點所得圖形是平行四邊形。（推論）
（7）平行四邊形的面積等于底和高的積。（可視為矩形。）
（8）過平行四邊形對角線交點的直線，将平行四邊形分成全等的兩部分圖形。
（9）平行四邊形是中心對稱圖形，對稱中心是兩對角線的交點.
（10）平行四邊形不是軸對稱圖形，但平行四邊形是中心對稱圖形。矩形和菱形是軸對稱圖形。注：正方形，矩形以及菱形也是一種特殊的平行四邊形，三者具有平行四邊形的性質。
（11）平行四邊形ABCD中（如圖）E為AB的中點，則AC和DE互相三等分，一般地，若E為AB上靠近A的n等分點，則AC和DE互相(n+1)等分。
（12）平行四邊形ABCD中，AC、BD是平行四邊形ABCD的對角線，則各四邊的平方和等于對角線的平方和。
（13）平行四邊形對角線把平行四邊形面積分成四等份。
（14）平行四邊形中，兩條在不同對邊上的高所組成的夾角，較小的角等于平行四邊形中較小的角，較大的角等于平行四邊形中較大的角。
輔助線
一、連接對角線或平移對角線。
二、過頂點作對邊的垂線構成直角三角形。
三、連接對角線交點與一邊中點，或過對角線交點作一邊的平行線，構成線段平行或中位線。
四、連接頂點與對邊上一點的線段或延長這條線段，構造相似三角形或等積三角形。
五、過頂點作對角線的垂線，構成線段平行或三角形全等。
例題詳解
例1
已知，在四邊形ABCD中，∠A=∠C，AB∥CD。求證：四邊形ABCD是平行四邊形。
證明：∵∠A=∠C，AB∥CD
∴∠B=∠D(等角的補角相等）
∵∠A=∠C且∠B=∠D
∴四邊形ABCD是平行四邊形（兩組對角分别相等的四邊形是平行四邊形）
例2
已知平行四邊形ABCD中，對角線AC和BD相交于點O，AC=10，BD=8．
（1）若AO⊥BD，試求四邊形ABCD的面積；
（2）若AC與BD的夾角∠AOD=，求四邊形ABCD的面積；
（3）試讨論：若把題目中“平行四邊形ABCD”改為“四邊形ABCD”，且∠AOD=
AC=，BD=，試求四邊形ABCD的面積（用含a，b的代數式表示）．
解：（1）∵AC⊥BD
∴四邊形ABCD的面積S=1/2AB×BC
=1/2×10×8
=40………………………………………2分
（2）過點A分别作AE⊥BD，垂足為E…………………………………3分
∵四邊形ABCD為平行四邊形AO=CO=1/2AC=5，
BO=DO=1/2BD=4
在Rt⊿AOE中，sin∠AOE=AB/AO
∴AE=AO×sin∠AOE=AO×sin60°=5×√3/2=5√3/2…………4分
∴S△AOD=1/2OD×AE=1/2×4×√3/2×5=5√3………………………………5分
∴四邊形ABCD的面積S=4S△AOD=20√3……………………………………6分
(3）如圖所示過點A,C分别作AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别為E,F…………7分在Rt⊿AOE中，sin∠AOE=AE/AO
∴AE=AO×sin∠AOE=AO×sin
同理可得CF=CO×sin∠COF=CO×sin………………………………8分
∴四邊形ABCD的面積S=S△ABD+S△CBD=1/2BD×AE+1/2BD×CF
=1/2BD×sin（AO+CO）
=1/2BD×ACsin
=1/2absin
〔3〕如圖所示，在平行四邊形ABCD中，AE、CF分别是∠DAB、∠BCD的平分線，求證：四邊形AFCE是平行四邊形．
分析：由四邊形ABCD是平行四邊形，可得，CE∥AF，∠DAB=∠DCB，又AE、CF分别平分∠DAB、∠BCD，所以∠2=∠3，可證四邊形AFCE是平行四邊形．
解答：
證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴CE∥AF，∠DAB=∠DCB，
∵AE、CF分别平分∠DAB、∠BCD，∴∠2=∠3，
又∠3=∠CFB，
∴∠2=∠CFB，
∴AE∥CF，
又CE∥AF，
∴四邊形AFCE是平行四邊形．
例3
在四邊形ABCD中，已知∠A=∠C，∠B=∠D,求證四邊形ABCD為平行四邊形。
證明：∵∠A=∠C，∠B=∠D，∠A+∠C+∠B+∠D=360°
∴2（∠A+∠B）=360°
∴∠A+∠B=180°
即AD∥BC
同理，可得AB∥CD
∴四邊形ABCD為平行四邊形
過平行四邊形對角線的交點任一直線平分平行四邊形的面積。
