定義
丢番圖方程又名不定方程、整系數多項式方程,是變量僅容許是整數的多項式等式;即形式如下圖的方程,其中所有的、和c均是整數,若其中能找到一組整數解者則稱之有整數解。
丢番圖問題有數條等式,其數目比未知數的數目少;丢番圖問題要求找出對所有等式都成立的整數組合。對丢番圖問題的數學研究稱為丢番圖分析。
解丢番圖方程由于沒有一個一般的方法,因而它向人類的智慧提出了挑戰。有一些看上去簡單的方程,但解決起來卻相當困難。
3世紀希臘數學家亞曆山大城的丢番圖曾對這些方程進行研究。
丢番圖方程的例子有貝祖等式、勾股定理的整數解、四平方和定理和費馬最後定理等。
曆史概述
丢番圖方程是數論中最古老的分支之一。古希臘的丢番圖早在公元3世紀就開始研究不定方程,因此常稱不定方程為丢番圖方程。Diophantus,古代希臘人,被譽為代數學的鼻祖,流傳下來關于他的生平事迹并不多。今天我們稱整系數的不定方程為「Diophantus方程」,内容主要是探讨其整數解或有理數解。他有三本著作,其中最有名的是《算術》,當中包含了189個問題及其答案,而許多都是不定方程組(變量的個數大于方程的個數)或不定方程式(兩個變數以上)。丢番圖隻考慮正有理數解,而不定方程通常有無窮多解的。
研究不定方程要解決三個問題:1.判斷何時有解。2.有解時決定解的個數。3.求出所有的解。中國是研究不定方程最早的國家,公元初的五家共井問題就是一個不定方程組問題,公元5世紀的《張丘建算經》中的百雞問題标志中國對不定方程理論有了系統研究。秦九韶的大衍求一術将不定方程與同餘理論聯系起來。百雞問題說:“雞翁一,直錢五,雞母一,直錢三,雞雛三,直錢一。百錢買百雞,問雞翁、母、雛各幾何?”。設x,y,z分别表雞翁、母、雛的個數,則此問題即為不定方程組的非負整數解x,y,z,這是一個三元不定方程組問題。
丢番圖生平
代數之父─丢番圖(Diophantine)是一位古希臘的大數學家,為第一位懂得使用符号代表數來研究問題的人。其中丢番圖最著名的可能就是他的墓志銘了:
「墳中安葬着丢番圖,多麼令人驚訝,它忠實地記錄了所經曆的道路。
上帝給予的童年占六分之一,又過十二分之一,兩頰長胡,再過七分之一,點燃起結婚的蠟燭。
五年之後天賜貴子,可憐遲到的甯馨兒,享年僅及其父之半,便進入冰冷的墓。
悲傷隻有用數論的研究去彌補,又過四年,他也走完了人生的旅途。
我們可以從中知道:“丢番圖的一生,幼年占1/6,青少年占1/12,又過了1/7才結婚,5年後生子,子先父4年而卒,壽為其父之半。”計算丢番圖的方程為X/6+X/12+X/7+5+X/2+4=X,X=84,由此知道丢番圖享年84歲。
分析
希爾伯特第十問題
1900年,希爾伯特提出丢番圖問題的可解答性為他的23個問題中的第10題。1970年,一個數理邏輯的結果馬蒂雅謝維奇定理(Matiyasevich's theorem)說明:一般來說,丢番圖問題都是不可解的。更精确的說法是,不可能存在一個算法能夠判定任何丢番圖方程式是否有解,甚至,在任何相容于皮亞諾算數的系統當中,都能具體構造出一個丢番圖方程,使得沒有任何辦法可以判斷它是否有解。
現代研究
*丢番圖集是遞歸可枚舉集。
*常用的方法有無窮遞降法和哈賽原理。
*丢番圖逼近研究了變量為整數,但系數可為無理數的不等式。
小學分式解法
丢番圖是一個人,他的生命是一個整體1
他的生命一共經曆了以下一些關鍵點:
1/6、1/12、1/7、5年、1/2、4年,然後他死了
1/2是怎麼得來的呢?因為他的孩子出生後,到他的孩子死了的這段時間,占丢番圖生命的一半,所以這段時間記為1/2,
綜上所述,他的生命一共由1/6+1/12+1/7+1/2和9年組成,那麼問題很簡單了,就是你要知道這9年占據他一生的幾分之幾呢?
當然是1-(1/6+1/12+1/7+1/2)
因為從一開始就說了,丢番圖的生命是一個整體1
所以他的年齡有多大呢?反過來,就是
9除以(1-(1/6+1/12+1/7+1/2))
對括号裡面的分式進行通分,很簡單就解出來了
明白了嗎?9除以(1-(1/6+1/12+1/7+1/2))=9除以(9/84),當然是84歲了。