定義
離散傅裡葉變換（DFT），是傅裡葉變換在時域和頻域上都呈現離散的形式，将時域信号的采樣變換為在離散時間傅裡葉變換（DTFT）頻域的采樣。在形式上，變換兩端（時域和頻域上）的序列是有限長的，而實際上這兩組序列都應當被認為是離散周期信号的主值序列。即使對有限長的離散信号作DFT，也應當将其看作經過周期延拓成為周期信号再作變換。在實際應用中通常采用快速傅裡葉變換以高效計算DFT。
物理意義
（1）物理意義
設x(n)是長度為N的有限長序列，則其傅裡葉變換，Z變換與離散傅裡葉變換分别用以下三個關系式表示
X(e^jω)= ∑n={0,N-1}x(n) e^j-ωn
X(z)= ∑n={0,N-1}x(n)z^-n
X(k)= ∑n={0,N-1}x(n) e^-j2πkn/N
單位圓上的Z變換就是序列的傅裡葉變換
離散傅裡葉變換是x(n)的頻譜X(ejω)在[0,2π]上的N點等間隔采樣,也就是對序列頻譜的離散化,這就是DFT的物理意義.
基本性質
1.線性性質
如果X1（n）和X2(N)是兩個有限長序列，長度分别為N1和N2，且Y(N)=AX1(N)+BX2(N)
式中A,B為常數，取N=max[N1,N2]，則Y(N）的N點DFT為
Y(K)=DFT[Y(N)]=AX1(K)+BX2(K), 0≤K≤N-1;
2.循環移位特性
設X(N)為有限長序列，長度為N，則X(N)地循環移位定義為
Y(N)=X((N+M))下标nR（N）
式中表明将X(N）以N為周期進行周期拓延得到新序列X'(N)=X((N))下标n，再将X'(N）左移M位，最後取主值序列得到循環移位序列Y(N)
隐含的周期性
DFT的一個重要特點就是隐含的周期性,從表面上看,離散傅裡葉變換在時域和頻域都是非周期的,有限長的序列,但實質上DFT是從DFS引申出來的,它們的本質是一緻的,因此DTS的周期性決定DFT具有隐含的周期性。可以從以下三個不同的角度去理解這種隐含的周期性
(1)從序列DFT與序列FT之間的關系考慮X(k)是對頻譜X(ejω)在[0,2π]上的N點等間隔采樣，當不限定k的取值範圍在[0,N-1]時，那麼k的取值就在[0,2π]以外，從而形成了對頻譜X(ejω)的等間隔采樣。由于X(ejω)是周期的，這種采樣就必然形成一個周期序列
(2)從DFT與DFS之間的關系考慮。X(k)= ∑n={0,N-1}x(n) WNexp^nk，當不限定N時，具有周期性
(3)從WN來考慮，當不限定N時，具有周期性
模拟信号分析
在工程實際中經常遇到的模拟信号xn(t),其頻譜函數Xn(jΩ)也是連續函數，為了利用DFT對xn(t)進行譜分析，對xn(t)進行時域采樣得到x(n)= xn(nT),再對x(n)進行DFT，得到X(k)則是x(n)的傅裡葉變換X(ejω)在頻率區間[0,2π]上的N點等間隔采樣，這裡x(n)和X(k)都是有限長序列
然而，傅裡葉變換理論證明，時間有限長的信号其頻譜是無限寬的，反之，弱信号的頻譜有限寬的則其持續時間将為無限長，因此，按采樣定理采樣時，采樣序列應為無限長，這不滿足DFT的條件。實際中，對于頻譜很寬的信号，為防止時域采樣後産生‘頻譜混疊’，一般用前置濾波器濾除幅度較小的高頻成分，使信号的帶寬小于折疊頻率；同樣對于持續時間很長的信号，采樣點數太多也會導緻存儲和計算困難，一般也是截取有限點進行計算。上述可以看出，用DFT對模拟信号進行譜分析，隻能是近似的，其近似程度取決于信号帶寬、采樣頻率和截取長度
模拟信号xn(t)的傅裡葉變換對為
X(jΩ)={-∞,+∞}x(t)*exp^-jΩt dt
x（t）=1/2π{-∞,+∞} X(JΩ)*e^jΩt dΩ
用DFT方法計算這對變換對的方法如下：
（a）對xn(t)以T為間隔進行采樣，即xn(t)|t=nT= xa(nT)= x(n),由于
t→nT,dt→T, {-∞,+∞}→∑n={-∞,+∞}
因此得到
X(jΩ)≈∑n={-∞,+∞}x(nT)*exp^-jΩnT*T
x（nT）≈1/2π{0, Ωs} X(JΩ)*e^jΩnT Dω
（b）将序列x(n)= xn(t)截斷成包含有N個抽樣點的有限長序列
X(jΩ)≈T∑n={0,N-1}x(nT)*exp^-jΩnT*T
由于時域抽樣，抽樣頻率為fs=1/T,則頻域産生以fs為周期的周期延拓，如果頻域是帶限信号，則有可能不産生頻譜混疊，成為連續周期頻譜序列，頻譜的周期為fs=1/T
（c）為了數值計算，頻域上也要抽樣，即在頻域的一個周期中取N個樣點，fs=NF0,每個樣點間隔為F0，頻域抽樣使頻域的積分式變成求和式，而在時域就得到原來已經截斷的離散時間序列的周期延拓，時間周期為T0=1/F0。因此有
Ω→kΩ0，dΩ→Ω0，{-∞,+∞} dΩ→∑n={-∞,+∞}Ω0
T0=1/F0=N/fs=NT
Ω0=2ΠF0
Ω0T=Ω0/fs=2π/N
X(jkΩ0)≈T∑n={0,N-1}x(nT)*exp^-jkΩ0nT
判斷方法
判斷系統是否為最小相位系統的簡單方法是：如果兩個系統的傳遞函數分子和分母的最高次數都分别是m，n，則頻率ω趨于無窮時，兩個系統的對數幅頻曲線斜率均為－20（n－m）dB/dec但對數相頻曲線卻不同：最小相位系統趨于－90°（n－m），而非最小相位系統卻不這樣。
注意事項
（1）時域和頻域混疊
根據采樣定理，隻有當采樣頻率大于信号最高頻率的兩倍時，才能避免頻域混疊。實際信号的持續時間是有限的，因而從理論上來說，其頻譜寬度是無限的，無論多 大的采樣頻率也不能滿足采樣定理。但是超過一定範圍的高頻分量對信号已沒有多大的影響，因而在工程上總是對信号先進行低通濾波
另一方面，DFT得到的頻率函數也是離散的，其頻域抽樣間隔為F0，即頻率分辨力。為了對全部信号進行采樣，必須是抽樣點數N滿足條件
N=T0/T=fs/F0
從以上兩個公式來看，信号最高頻率分量fc和頻率分辨力F0有矛盾。若要fc增加，則抽樣間隔T就要減小，而FS就要增加，若在抽樣點數N不變的情況下，必然是F0增加，分辨力下降。唯一有效的方法是增加記錄長度内的點數N，在fc和F0給定的條件下，N必須滿足
N>2fc/F0
（2）截斷效應
在實際中遇到的序列x(n)，其長度往往是有限長，甚至是無限長，用DFT對其進行譜分析時，必須将其截斷為長度為N的有限長序列
Y(n)=x(n).RN(n)
根據頻率卷積定理
Y(e)=1/2Πx(e)*H(e)
|ω|<2π/N叫做主瓣，其餘部分叫做旁瓣
（3）頻譜洩露
原序列x(n)的頻譜是離散譜線，經截斷後使每根譜線都帶上一個辛格譜，就好像使譜線向兩邊延申，通常将這種是遇上的截斷導緻頻譜展寬成為洩露，洩露使得頻譜變得模糊，分辨率降低
（4）譜間幹擾
因截斷使主譜線兩邊形成許多旁瓣，引起不同分量間的幹擾，成為譜間幹擾，這不僅影響頻譜分辨率，嚴重時強信号的旁瓣可能湮滅弱信号的主譜線。
截斷效應是無法完全消除的，隻能根據要求折中選擇有關參量。
（5）栅欄效應
N點DFT是在頻率區間[0,2π]上對信号的頻譜進行N點等間隔采樣，得到的是若幹個離散點X(k)，且它們之限制為基頻F0的整數倍，這部好像在栅欄的一邊通過縫隙看另一邊的景象，隻能在離散點的地方看到真實的景象，其餘部分頻譜成分被遮攔，所以稱為栅欄效應。
減小栅欄效應，可以在時域數據末端增加一些零值點，是一個周期内的點數增加
（6）信号長度的選擇
在時域内對信号長度的選擇會影響DFT運算的正确性。實際的信号往往是随機的，沒有确定的周期，因此在實際中，應經可能估計出幾個典型的、帶有一定周期性的信号區域進行頻譜分析，然後在取其平均值，從而得到合理的結果。
