階乘符号:數學術語-中文百科頻道

内容

1751年，歐拉以大寫字母M表示m階乘，即M=1×2×3×m。

1799年，魯非尼在他出版的方程論着述中，則以小寫字母π表示m階乘，而在1813年，高斯則以Π(n)來表示n階乘。而用來表示n階乘的方法起源于英國，但仍未能确定始創人是誰。直至1827年，由于雅萊特的建議而得到流行，現在有時也會以這個符号作為階乘符号。

而最先提出階乘符号n!的人是克拉姆（1808），後來經過歐姆等人的提倡而流行，直至現在仍然通用。

當n較大時，直接計算n!變得不可能，這時可通過斯特靈（Stirling）公式計算近似算或取得大小範圍。

由fxccommercial提出,系fxccommercial本人發現并歸納整理成為一個新的數學定理猜想.這個公式描述的是，從大到小排列的n+1個數，對每個數取n次方，用(-1)^nC_n^k做系數，實現奇偶項數的差項和,則這列數的和為n!,目前fxccommercial已得到一個關于他的推論，經驗證是正确的。曆史上并沒有人得到過類似的公式，可以認為它是人類對數學的又一個深刻的認識,但目前關于這個定理的證明尚無人能給出,筆者期待這個定理證明的解決。

約定∑_k=0_n表示對從0到n的n+1項求和,則該定理表述為:∑_k=0_n(-1)^k*C_n^k*(a-mk)^n=m^n*n!(a屬于R,k,m,n屬于N)n^k:n的k次方，^用來表示上标;a/b:a除以b;a*b:a乘以b，有時可以忽略*;n!:n的階乘;[x]:不超過x的最大整數;:x的小數部分;a_n:數列第n項，_用來表示下标n;C_n^k:組合數，表示n個元素裡取k個元素。

全排列

所謂階乘數是指其最低位的基為1，即逢一進一，每高一位則基加一，即進位依次為二、三…，n位階乘數共有n!個。如三位階乘數從小到大依次為：000，010，100，110，200，210。設n元集合S={a0,a1,a2,…an-1}，則S的全排列與n位階乘數一一對應。

對應方式為：從n個元素中選取第一個元素有n種方法，被選取的元素的下标值為0到n-1之間的一個整數，将這個數作為n位階乘數的最高位，将剩下的元素按下标從0到n-2重新編号，重新編号時不改變它們的相對次序，則選取第二個元素有n-1種方法，被選取的元素的下标值為0到n-2之間的一個整數，将這個數作為n位階乘數的次高位。

選取最後一個元素隻有1種方法，被選取的元素的下标值為0，将這個數作為n位階乘數的最低位，這樣任何一種排列必可對應一個n位階乘數，顯然這種對應關系是一一對應的。問題：請用階乘數法生成1到n的全排列。[算法設計]首先用最低位加一的方法依次産生所有的n位階乘數，對任意一個n位階乘數用上述方法求出其對應的排列。

參考程序[programex5(input,output);constmaxn=9;typearraytype=array[0maxn]ofinteger;vari,j,n:integer;a,b,p:arraytype;beginwrite('Inputn:');readln(n);fori:=0ton-1dob[i]:=0;whileb[n]=0dobeginfori:=0ton-1doa[i]:=i+1;fori:=n-1downto0dobeginp[i]:=a[b[i]];forj:=b[i]toi-1doa[j]:=a[j+1]end;fori:=n-1downto0dowrite(p[i],'');write('':20-2*n);b:=b+1;i:=0;whileb[i]>idobeginb[i]:=0;b[i+1]:=b[i+1]+1;i:=i+1endend;writelnend.解釋程序。