簡介
又稱蘭徹斯特戰鬥理論或戰鬥動态理論，是應用數學方法研究敵對雙方在戰鬥中的武器、兵力消滅過程的運籌學分支。1915年，英國工程師F.W.蘭徹斯特在《戰鬥中的飛機》一文中，首先提出用常微分方程組描述敵對雙方兵力消滅過程，定性地說明了集中兵力的原理。1945年，J.H.恩格爾撰文肯定了蘭徹斯特定律的實踐意義。他曾經根據在第二次世界大戰中美軍攻占日軍防守的琉璜島之役的作戰數據,計算了各方的消滅率系數,且用這兩個系數結合美軍的兵力增補率構成一個特殊的蘭徹斯特方程。它的數值解相當準确地與該次作戰中的實際兵力變化進程相吻合。從此，這門理論得到不斷發展。它主要研究兩類問題：一是作戰對抗過程的描述，即根據典型的對抗态勢和火力條件建立兵力消滅過程的微分方程組及其解法，借以預測作戰進程和獲勝條件；二是戰術策略的優化，即尋找投入兵力、分配火力和支援保障行動等的最優策略序列。
主要形式
蘭徹斯特方程的主要形式有：
平方律
設在近代戰鬥條件下，紅、藍兩軍交戰，雙方各自裝備同類武器，相互通視，并在武器射程範圍内進行直接瞄準射擊；雙方每一戰鬥單位射擊對方每一戰鬥單位的機會大緻相同。将雙方在戰鬥中尚存的戰鬥單位數作為連續的狀态變量，以m(t)、n(t)表示在戰鬥開始後t時刻藍方、紅方在戰鬥中尚存的作戰單位數，可用下列微分方程組來描述戰鬥過程中雙方兵力随時間的損耗關系：
式中α、β分别為藍方、紅方在單位時間内每一戰鬥單位毀傷對方戰鬥單位的數目，簡稱為藍方、紅方的毀傷率系數。在雙方使用步兵武器進行直瞄射擊的情況下，毀傷率系數等于武器的射速乘以單發射彈命中目标的概率與命中目标的條件下毀傷目标概率的乘積。假設交戰開始時刻藍方、紅方的初始戰鬥單位數為m(0)=M,n(0)=N，從上述微分方程組可知，在交戰過程中雙方戰鬥單位數符合下列狀态方程：
α[M^2-m(t)^2]=β[N^2-n(t)^2]
當交戰雙方的初始戰鬥單位數與毀傷率系數之間滿足αM=βN時，m(t)與n(t)同時趨于零，戰鬥不分勝負。當αM<βN時,藍方将首先被消滅。蘭徹斯特将上述關系概括為“在直接瞄準射擊條件下，交戰一方的有效戰鬥力，正比于其戰鬥單位數的平方與每一戰鬥單位平均戰鬥力(平均毀傷率系數)的乘積”,并稱之為“平方律”。
按照這一定律，如果藍方武器系統的單個戰鬥單位的平均效率為紅方的4倍,則紅方在數量上必須集中2倍于藍方的兵力才可抵消藍方武器在質量上的優勢。
蘭徹斯特采用下述例子說明平方律符合集中優勢兵力的作戰原則：“如果藍方1000人與紅方1000人交戰，雙方單個戰鬥單位的平均戰鬥力相同,紅方被藍方分割成各500人的兩半。假定藍方以1000人先攻擊紅方的500人，則藍方将以損失134人的代價全殲紅方的一半,接着藍方以剩下的866人再全殲紅方的另一半，藍方在這兩次戰鬥中總共損失293人。”
直接求解上述微分方程組可以得到藍、紅雙方兵力随時間變化的關系：
藍方兵力=A1=1000
紅方兵力=B1=B2=500
作戰效率=1
藍方戰鬥力=藍方兵力×作戰效率=1000
紅方戰鬥力=紅方兵力×作戰效率=500
單位時間=1
藍方集中1000人攻擊紅方500人，則根據公式可得
第一回合
藍方剩餘兵力=√藍方戰鬥力^2-紅方戰鬥力^2=√750000≈866.02
第二回合
藍方剩餘兵力=√499956≈707.07
由此我們可以看出，在兩軍對壘中如果武器裝備落後于對手4倍水平級别，則必須在兵力上增派至4倍兵力數方可抵消對手在裝備上造成的壓力。即當雙方的兵力總數逼近瓶頸時，裝備的優劣是影響戰局的主要因素。
式中ch(·)、sh(·)為雙曲餘弦函數與雙曲正弦函數。
線性律
假定紅、藍兩軍各自使用武器(如火炮)對對方實施遠距離間接瞄準射擊，火力集中在已知對方戰鬥單位的集結地區，該區域的大小與對方部隊的數量無關。此時一方的損傷率與對方向其開火的戰鬥單位數量成正比，同時也與己方部隊在該防區内的數量成正比。這時，可用下列微分方程組來描述雙方戰鬥單位數量随時間的變化：(t)、n(t)的含義同平方律。經簡單推導可知交戰過程中雙方兵力符合下列狀态方程：
α[M-m(t)]=β[N-n(t)]
式中M、N的意義同平方律。交戰雙方不分勝負的條件為αM=βN,如果αM<βN,則藍方将首先被消滅。蘭徹斯特将上述關系概括為“在向面目标間接瞄準射擊的條件下，交戰一方的有效戰鬥力正比于其戰鬥單位數與該方每一戰鬥單位的平均戰鬥力的乘積”，并稱之為線性律。
冷兵器時代，戰鬥形式通常是單兵之間一對一地進行格鬥，戰鬥的結局取決于雙方的格鬥水平，藍、紅雙方的平均毀傷率取常數值，分别用α、β表示，交戰過程中雙方兵力的變化可用下列微分方程組來描述：
式中m(t)、n(t)的含義同平方律。此時交戰過程中雙方兵力之間符合的狀态方程與向面目标進行間瞄射擊時的線性律所描述的狀态方程完全相同。這種關系可概括為“在兵一對一格鬥的條件下，交戰一方的有效戰鬥力正比于其戰鬥單位數與該方每一戰鬥單位的平均戰鬥力的乘積。”這便是描述冷兵器時代戰鬥的線性律。
為加以區别，有時将描述使用冷兵器戰鬥的線性律稱為“第一線性律”，而将描述使用火器向面目标進行間瞄射擊時的線性律稱為“第二線性律”。
擴充與推廣
現代戰鬥中所包含的各種複雜因素，遠遠超出了上述蘭徹斯特方程賴以建立的簡化了的假設條件。B.O.庫普曼等将雙方作戰單位數作為随機變量，并運用馬爾可夫過程理論來描述交戰過程中出現的毀傷情況，從而得出随機型蘭徹斯特方程。S.J.梯曲曼等從平方律、第二線性律的微分方程組中各取一式，以描述遊擊戰中正規軍與遊擊隊毀傷的情況，并由此得出“混合律”。S.邦德等研究了蘭徹斯特方程中毀傷率系數與敵對雙方的射擊狀态、武器戰術技術性能參數間的關系，從而建立了描述合成軍交戰并包含部隊增援與非戰鬥毀傷等方面的廣義蘭徹斯特方程組。H.K.威斯等将戰術決策者所采用的策略作為決策參數納入蘭徹斯特方程，并運用最優化理論研究了“最佳戰術決策”等方面的問題。J.H.恩格爾等曾運用曆史上一些著名戰鬥中雙方傷亡的數據驗證過蘭徹斯特方程的正确性。
參考書目
P.M.Morse and G.E.Kimball,Methods of Operations Research,John Wiley & Sons, New York,1951.
P.W.Zehna,et al.,Selected Methods and Maclels in Military Operations Research,U.S.Naval Postg-raduate School,Monterey,California,1972.
