概述
其是數學的一個分支，主要處理線性關系問題。線性關系意即數學對象之間的關系是以一次形式來表達的。例如，在解析幾何裡，平面上直線的方程是二元一次方程；空間平面的方程是三元一次方程，而空間直線視為兩個平面相交，由兩個三元一次方程所組成的方程組來表示。含有n個未知量的一次方程稱為線性方程。關于變量是一次的函數稱為線性函數。線性關系問題簡稱線性問題。解線性方程組的問題是最簡單的線性問題。
曆史
其作為一個獨立的分支在20世紀才形成，然而它的曆史卻非常久遠。“雞兔同籠”問題實際上就是一個簡單的線性方程組求解的問題。最古老的線性問題是線性方程組的解法，在中國古代的數學著作《九章算術·方程》章中，已經作了比較完整的叙述，其中所述方法實質上相當于現代的對方程組的增廣矩陣的行施行初等變換，消去未知量的方法。
由于費馬和笛卡兒的工作，現代意義的線性代數基本上出現于十七世紀。直到十八世紀末，線性代數的領域還隻限于平面與空間。十九世紀上半葉才完成了到n維線性空間的過渡。
随着研究線性方程組和變量的線性變換問題的深入，行列式和矩陣在18～19世紀期間先後産生，為處理線性問題提供了有力的工具，從而推動了線性代數的發展。向量概念的引入，形成了向量空間的概念。凡是線性問題都可以用向量空間的觀點加以讨論。因此，向量空間及其線性變換，以及與此相聯系的矩陣理論，構成了線性代數的中心内容。
矩陣論始于凱萊，在十九世紀下半葉，因若當的工作而達到了它的頂點。1888年，皮亞諾以公理的方式定義了有限維或無限維線性空間。托普利茨将線性代數的主要定理推廣到任意體（domain）上的最一般的向量空間中。線性映射的概念在大多數情況下能夠擺脫矩陣計算而不依賴于基的選擇。不用交換體而用未必交換之體或環作為算子之定義域，這就引向模（module）的概念，這一概念很顯著地推廣了線性空間的理論和重新整理了十九世紀所研究過的情況。
“代數”這個詞在中文中出現較晚，在清代時才傳入中國，當時被人們譯成“阿爾熱巴拉”，直到1859年，清代著名的數學家、翻譯家李善蘭才将它翻譯成為“代數學”，之後一直沿用。
學科概述
線性代數是學生進入大學後修讀的第一門抽象的數學課程，針對其具有較強的抽象性、邏輯性與廣泛的實用性這一特點，本課程的教學目标是：通過本課程的學習，使學生掌握線性代數該課程的基本理論與方法，提高學生的抽象思維能力、邏輯推理能力和數學運算能力，培養學生在科技活動和社會實踐教學活動中應用數學知識解決問題的能力，為進一步學習後續課程奠定必要的數學基礎。
學術地位
線性代數在數學、物理學和技術學科中有各種重要應用，因而它在各種代數分支中占居首要地位。在計算機廣泛應用的今天，計算機圖形學、計算機輔助設計、密碼學、虛拟現實等技術無不以線性代數為其理論和算法基礎的一部分。線性代數所體現的幾何觀念與代數方法之間的聯系，從具體概念抽象出來的公理化方法以及嚴謹的邏輯推證、巧妙的歸納綜合等，對于強化人們的數學訓練，增益科學智能是非常有用的。随着科學的發展，我們不僅要研究單個變量之間的關系，還要進一步研究多個變量之間的關系，各種實際問題在大多數情況下可以線性化，而由于計算機的發展，線性化了的問題又可以計算出來，線性代數正是解決這些問題的有力工具。
在計算機廣泛應用的今天，計算機圖形學、計算機輔助設計、密碼學、虛拟現實等技術無不以線性代數為其理論和算法基礎的一部分。
“以直代曲”是人們處理很多數學問題時一個很自然的思想。很多實際問題的處理，最後往往歸結為線性問題，它比較容易處理。因此，線性代數在工程技術和國民經濟的許多領域都有着廣泛的應用，是一門基本的和重要的學科。線性代數的計算方法是計算數學裡一個很重要的内容。
基本介紹
線性（linear）指量與量之間按比例、成直線的關系，在數學上可以理解為一階導數為常數的函數
非線性（non-linear）則指不按比例、不成直線的關系，一階導數不為常數。
線性代數起源于對二維和三維直角坐标系的研究。在這裡，一個向量是一個有方向的線段，由長度和方向同時表示。這樣向量可以用來表示物理量，比如力，也可以和标量做加法和乘法。這就是實數向量空間的第一個例子。
作為證明定理而使用的純抽象概念，向量空間（線性空間）屬于抽象代數的一部分，而且已經非常好地融入了這個領域。一些顯著的例子有：不可逆線性映射或矩陣的群，向量空間的線性映射的環。線性代數也在數學分析中扮演重要角色，特别在向量分析中描述高階導數，研究張量積和可交換映射等領域。
向量空間是在域上定義的，比如實數域或複數域。線性算子将線性空間的元素映射到另一個線性空間（也可以是同一個線性空間），保持向量空間上加法和标量乘法的一緻性。所有這種變換組成的集合本身也是一個向量空間。如果一個線性空間的基是确定的，所有線性變換都可以表示為一個數表，稱為矩陣。對矩陣性質和矩陣算法的深入研究（包括行列式和特征向量）也被認為是線性代數的一部分。
我們可以簡單地說數學中的線性問題——-那些表現出線性的問題——是最容易被解決的。比如微分學研究很多函數線性近似的問題。在實踐中與非線性問題的差異是很重要的。
線性代數方法是指使用線性觀點看待問題，并用線性代數的語言描述它、解決它（必要時可使用矩陣運算）的方法。這是數學與工程學中最主要的應用之一。
重要定理
每一個線性空間都有一個基。
矩陣非奇異（可逆）當且僅當它的行列式不為零。
矩陣非奇異當且僅當它代表的線性變換是個自同構。
矩陣半正定當且僅當它的每個特征值大于或等于零。
矩陣正定當且僅當它的每個特征值都大于零。
解線性方程組的克拉默法則。
判斷線性方程組有無非零實根的增廣矩陣和系數矩陣的關系。
其他數學分支
線性代數是一個成功的理論，其方法已經被應用于數學的其他分支，模論就是将線性代數中的标量的域用環替代進行研究。
多線性代數将映射的“多變量”問題線性化為每個不同變量的問題，從而産生了張量的概念。在算子的光譜理論中，通過使用數學分析，可以控制無限維矩陣，所有這些領域都有非常大的技術難點。
