定理推廣
線性（linear）指量與量之間按比例、成直線的關系，在數學上可以理解為一階導數為常數的函數。
非線性（non-linear）則指不按比例、不成直線的關系，一階導數不為常數。
線性代數起源于對二維和三維直角坐标系的研究。在這裡，一個向量是一個有方向的線段，由長度和方向同時表示。這樣向量可以用來表示物理量，比如力，也可以和标量做加法和乘法。這就是實數向量空間的第一個例子。
現代線性代數已經擴展到研究任意或無限維空間。一個維數為的向量空間叫做 維空間。在二維和三維空間中大多數有用的結論可以擴展到這些高維空間。盡管許多人不容易想象n 維空間中的向量，這樣的向量（即 元組）用來表示數據非常有效。由于作為元組，向量是 個元素的“有序”列表，大多數人可以在這種框架中有效地概括和操縱數據。比如，在經濟學中可以使用 8 維向量來表示 8 個國家的國民生産總值（GNP）。當所有國家的順序排定之後，比如（中國、美國、英國、法國、德國、西班牙、印度、澳大利亞），可以使用向量（）顯示這些國家某一年各自的 GNP。這裡，每個國家的 GNP 都在各自的位置上。
作為證明定理而使用的純抽象概念，向量空間（線性空間）屬于抽象代數的一部分，而且已經非常好地融入了這個領域。一些顯著的例子有：不可逆線性映射或矩陣的群，向量空間的線性映射的環。線性代數也在數學分析中扮演重要角色，特别在 向量分析中描述高階導數，研究張量積和可交換映射等領域。
向量空間是在域上定義的，比如實數域或複數域。線性算子将線性空間的元素映射到另一個線性空間（也可以是同一個線性空間），保持向量空間上加法和标量乘法的一緻性。所有這種變換組成的集合本身也是一個向量空間。如果一個線性空間的基是确定的，所有線性變換都可以表示為一個數表，稱為矩陣。對矩陣性質和矩陣算法的深入研究（包括行列式和特征向量）也被認為是線性代數的一部分。
我們可以簡單地說數學中的線性問題——-那些表現出線性的問題——是最容易被解決的。比如微分學研究很多函數線性近似的問題。在實踐中與非線性問題的差異是很重要的。
線性代數方法是指使用線性觀點看待問題，并用線性代數的語言描述它、解決它（必要時可使用矩陣運算）的方法。這是數學與工程學中最主要的應用之一。
定理意義
線性代數在數學、物理學和技術學科中有各種重要應用，因而它在各種代數分支中占居首要地位。在計算機廣泛應用的今天，計算機圖形學、計算機輔助設計、密碼學、虛拟現實等技術無不以線性代數為其理論和算法基礎的一部分。線性代數所體現的幾何觀念與代數方法之間的聯系，從具體概念抽象出來的公理化方法以及嚴謹的邏輯推證、巧妙的歸納綜合等，對于強化人們的數學訓練，增益科學智能是非常有用的。随着科學的發展，我們不僅要研究單個變量之間的關系，還要進一步研究多個變量之間的關系，各種實際問題在大多數情況下可以線性化，而由于計算機的發展，線性化了的問題又可以被計算出來，線性代數正是解決這些問題的有力工具。線性代數的計算方法也是計算數學裡一個很重要的内容。
線性代數的含義随數學的發展而不斷擴大。線性代數的理論和方法已經滲透到數學的許多分支，同時也是理論物理和理論化學所不可缺少的代數基礎知識。
“以直代曲”是人們處理很多數學問題時一個很自然的思想。很多實際問題的處理，最後往往歸結為線性問題，它比較容易處理。因此，線性代數在工程技術和國民經濟的許多領域都有着廣泛的應用，是一門基本的和重要的學科。
如果進入科研領域，你就會發現，隻要不是線性的東西，我們基本都不會！線性是人類少數可以研究得非常透徹的數學基礎性框架。學好線性代數，你就掌握了絕大多數可解問題的鑰匙。有了這把鑰匙，再加上相應的知識補充，你就可以求解相應的問題。可以說，不學線性代數，你就漏過了95%的人類智慧！非線性的問題極為困難，我們并沒有足夠多的通用的性質和定理用于求解具體問題。如果能夠把非線性的問題化為線性的，這是我們一定要走的方向！
事實上，微積分“以直代曲”的思想就是将整體非線性化為局部線性的一個經典的例子，盡管高等數學在定義微分時并沒有用到一點線性代數的内容。許多非線性問題的處理――譬如流形、微分幾何等，最後往往轉化為線性問題。包括科學研究中，非線性模型通常也可以被近似為線性模型。随着研究對象的複雜化與抽象化，對非線性問題線性化，以及對線性問題的求解，就難免涉及到線性代數的術語和方法了。從這個意義上，線性代數可以被認為是許多近、現代數學分支的共同基礎。
