約數
定義
整數a除以整數b(b≠0)除得的商正好是整數而沒有餘數，我們就說a能被b整除，或b能整除a。a叫b的倍數，b叫a的約數（或因數）。在大學之前，所指的一般都是正約數。約數和倍數相互依存，不能單獨說某個數是約數或倍數。一個數的約數是有限的。
範例
在自然數（0和正整數）的範圍内，
4的約數有：1、2、4。
6的約數有：1、2、3、6。
10的約數有：1、2、5、10。
12的約數有：1、2、3、4、6、12。
15的約數有：1、3、5、15。
18的約數有：1、2、3、6、9、18。
20的約數有：1、2、4、5、10、20。
注意：一個數的約數包括1及其本身。
例如：能整除24的有：1、2、3、4、6、8、12、24。
所以24的約數有：1、2、3、4、6、8、12、24。
最大公因數
公因數
如果一個數c既是數a的因數，又是數b的因數，那麼c叫做a與b的公因數。可以表示為(a，b)=c。
最大公因數
兩個數的公因數中最大的一個，叫做這兩個數的最大公因數。
最大公因數的求法
1、枚舉法将兩個數的因數分别一一列出，從中找出其公因數，再從公因數中找出最大的一個，即為這兩個數的最大公因數。
例：求30與24的最大公因數。
30的因數有：1，2，3，5，6，10，15，30
24的因數有：1，2，3，4，6，8，12，24
易得其公因數中最大的一個是6，所以30和24的最大公因數是6。
2、短除法短除符号就像一個倒過來的除号，短除法就是先寫出要求最大公因數的兩個數A、B，再畫一個短除号，接着在原本寫除數的位置寫兩個數公有的質因數Z（通常從最小的質數開始），然後在短除号的下方寫出這兩個數被Z整除的商a，b，對a，b重複以上步驟，以此類推，直到最後的商互質為止，再把所有的除數相乘，其積即為A，B的最大公因數。（短除法同樣适用于求最小公倍數，隻需将其所有除數與最後所得的商相乘即可）
例：求12和18的最大公約數。
解：用短除法，由左圖，易得12和18的最大公約數為2×3=6.。
3、分解質因數
将需要求最大公因數的兩個數A，B分别分解質因數，再從中找出A、B公有的質因數，把這些公有的質因數相乘，即得A、B的最大公約數。
例：求48和36的最大公因數。
把48和36分别分解質因數：
48=2×2×2×2×3
36=2×2×3×3
其中48和36公有的質因數有2、2、3，所以48和36的最大公因數是2×2×3=12。
4、輾轉相除法（歐幾裡得算法）對要求最大公因數的兩個數a、b，設b
這一算法的證明如下：
設兩數為a、b
令c=gcd(a，b），則設a=mc，b=nc，根據前提有r=a-kb=mc-knc=(m-kn)c
由上，可知c也是r的因數，故可以斷定m-kn與n互素【否則，可設m-kn=xd，n=yd，（d>1），則m=kn+xd=kyd+xd=(ky+x)d，則a=mc=(ky+x)dc，b=nc=ycd，故a與b最大公因數成為cd，而非c】
所以gcd(b，r)=c，繼而gcd(a，b)=gcd(b，r）。
例：求8251和6105的最大公因數。
考慮用較大數減較小數，求得商和餘數：
8251=6105×1+2146
6105=2146×2+1813
2146=1813×1+333
1813=333×5+148
333=148×2+37
148=37×4
最後除數37是148和37的最大公因數，也就是8251與6105的最大公因數。
因數
5、更相減損術更相減損術出自《九章算術》的一種求最大公約數的算法，它原本是為約分而設計的，但它适用于任何需要求最大公約數的場合。其原文為：“可半者半之，不可半者，副置分母、子之數，以少減多，更相減損，求其等也。以等數約之。”
翻譯成現代語言就是
第一步：任意給定兩個正整數a、b；判斷它們是否都是偶數。若是，則用2約簡；若不是則執行第二步。
第二步：以較大的數減較小的數，接着把所得的差與較小的數比較，并以大數減小數。繼續這個操作，直到所得的減數和差相等為止。這個數就是a、b的最大公約數。
例：求98與63的最大公因數。
分析：由于63不是偶數，把98和63以大數減小數，并輾轉相減：
98-63=35
63-35=28
35-28=7
28-7=21
21-7=14
14-7=7
所以，98和63的最大公約數為7。
注：以上1、2、3同樣适用于求多個自然數的最大公約數。
求約數個數的公式
一般地，對自然數n進行分解質因數，設n可以分解為
n=p⑴^α⑴·p⑵^α*⑵·…·p(k)^α（k)
其中p⑴、p⑵、…p(k）是不同的質數，α⑴、α⑵、…α（k）是正整數，則形如
n=p⑴^β⑴·p⑵^β*⑵·…·p(k)^β（k)
的數都是n的約數，其中β⑴可取a⑴+1個值：0，1，2，…，α⑴；β⑵可取α⑵+1個值：0，1，2，…，α⑵…；β（k）可取a(k)+1個值：0，1，2，…，α（k).且n的約數也都是上述形式，根據乘法原理，n的約數共有
（α⑴+1）（α⑵+1）…（α（k)+1）⑺
個。
式⑺即為求一個數約數個數的公式。
負約數
定義
國内課本中，最先提到約數這個概念是在小學，而此時還沒學負數。
等到學了負數，一般要直到大學數學系“初等數論”中才嚴格定義約數，那個時候就包括負約數了。
如果d|a并且d≥0，則我們說d是a的約數。注意，d|a當且僅當（-d)|a，因此定義約數為非負整數不會失去一般性，隻要明白a的任何約數的相應負數同樣能整除a。一個整數a的約數最小為1，最大為|a|。
例題
105的負約數的和是多少？
105的所有負約數就是105的所有正約數的相反數所組成的集合。
105的正約數有1，3，5，7，15，21，35，105
105的負約數有-1，-3，-5，-7，-15，-21，-35，-105
其和為-（1+3+5+7+15+21+35+105）=﹣192
