穿針引線法:數形結合思想-中文百科頻道

簡介

為了形象地體現正負值的變化規律，可以畫一條浪線從右上方依次穿過每一根所對應的點，穿過最後一個點後就不再變方向，這種畫法俗稱“穿針引線法“。很顯然，這種方法體現了數形結合思想，所以用起來很方便。

用途

用于解簡單高次不等式。

發明者

淮南三中一名老教師。于1983發表的一篇論文《數軸标根法解不等式》上介紹此法，便于解此類不等式

第一步

通過不等式的諸多性質對不等式進行移項，使得右側為0。（注意：一定要保證最高次數項的系數為正數）

例如：将x^3-2x^2-x+2>0化為(x-2)(x-1)(x+1)>0

第二步

将不等号換成等号解出所有根。

例如：(x-2)(x-1)(x+1)=0的根為：x1=2，x2=1，x3=-1

第三步

在數軸上從左到右按照大小依次标出各根。

例如：-1、1、2

第四步

畫穿根線：以數軸為标準，從“最右根”的右上方穿過根，往左下畫線，然後又穿過“次右根”上去，一上一下依次穿過各根。

第五步

觀察不等号，如果不等号為“>”，則取數軸上方，穿根線以内的範圍；如果不等号為“<”，則取數軸下方，穿根線以内的範圍。

例如：

若求(x-2)(x-1)(x+1)>0的根。

在數軸上标根得：-1、1、2

畫穿根線：由右上方開始穿根。

因為不等号為“>”則取數軸上方，穿根線以内的範圍。即：-12。

奇穿偶不穿：即假如有兩個解都是同一個數字。這個數字要按照兩個數字穿。如（x-1)^2=0兩個解都是1，那麼穿的時候不要透過1。

可以簡單記為秘籍口訣：或“自上而下，從右到左，奇穿偶不穿”（也可以這樣記憶：“自上而下，自右而左，奇穿偶回”或“奇穿偶連”）。

注意事項

運用序軸标根法解不等式時，常犯以下的錯誤：

問題一

出現形如（a－x）的一次因式時，匆忙地“穿針引線”。

例1解不等式x（3－x）（x+1）（x－2）>0。

解x（3－x）（x+1）（x－2）>0，将各根－1、0、2、3依次标在數軸上，由圖1可得原不等式的解集為{x|x<－1或3}。

事實上，隻有将因式（a－x）變為（x－a）的形式後才能用序軸标根法，正确的解法是：

【解】原不等式變形為x（x－3）（x+1）（x－2）<0，将各根－1、0、2、3依次标在數軸上，由圖1，原不等式的解集為{x|－1}

問題二

出現重根時，機械地“穿針引線”。

例2解不等式（x+1）（x－1）^2（x－4）^3<0

解将三個根－1、1、4标在數軸上，原不等式的解集為{x|x<－1或1}這種解法也是錯誤的，錯在不加分析地、機械地“穿針引線”。出現幾個相同的根時，所畫的浪線遇到“偶次”點（即偶數個相同根所對應的點）不能過數軸，仍在數軸的同側折回，隻有遇到“奇次”點（即奇數個相同根所對應的點）才能穿過數軸，正确的解法如下：

解将三個根－1、1、4标在數軸上，畫出浪線圖來穿過各根對應點，遇到x=1的點時浪線不穿過數軸，仍在數軸的同側折回；遇到x=4的點才穿過數軸，于是，可得到不等式的解集。

{x|－1}