公式定義
實數域上的狄利克雷（Dirichlet）函數表示為：
（k，j為整數）也可以簡單地表示分段函數的形式D(x)=0（x是無理數）或1（x是有理數）
性質分析
基本性質
1、定義域為整個實數域R
2、值域為{0，1}
3、函數為偶函數
4、無法畫出函數圖像，但是它的函數圖像客觀存在
5、以任意正有理數為其周期，無最小正周期（由實數的連續統理論可知其無最小正周期）
分析性質
1、處處不連續
2、處處不可導
3、在任何區間内黎曼不可積
4、函數是可測函數
5、在單位區間[0，1]上勒貝格可積，且勒貝格積分值為0（且任意區間以及R上甚至任何R的可測子集上（區間不論開閉和是否有限）上的勒貝格積分值為0）
對性質5的說明：雖然m(R/Q)=+∞，但在R/Q上有f(x)=0，符合可積條件（說明中Q為有理數集）。
函數周期
狄裡克雷函數是周期函數，但是卻沒有最小正周期，它的周期是任意非零有理數（周期不能為0），而非無理數。因為不存在最小正有理數，所以狄裡克萊函數不存在最小正周期。
創始人介紹
狄裡克雷（1805～1859）Dirichlet，Peter Gustav Lejeune德國數學家。對數論、數學分析和數學物理有突出貢獻，是解析數論的創始人之一。1805年2月13日生于迪倫，1859年5月5日卒于格丁根。中學時曾受教于物理學家G.S.歐姆；1822～1826年在巴黎求學，深受J.-B.-J.傅裡葉的影響。回國後先後在布雷斯勞大學、柏林軍事學院和柏林大學任教27年，對德國數學發展産生巨大影響。1839年任柏林大學教授，1855年接任C.F.高斯在哥廷根大學的教授職位。
在分析學方面，他是最早倡導嚴格化方法的數學家之一。1837年他提出函數是x與y之間的一種對應關系的現代觀點。
在數論方面，他是高斯思想的傳播者和拓廣者。1833年狄裡克萊撰寫了《數論講義》，對高斯劃時代的着作《算術研究》作了明晰的解釋并有創見，使高斯的思想得以廣泛傳播。1837年，他構造了狄裡克雷級數。1838～1839年，他得到确定二次型類數的公式。1846年，使用抽屜原理。闡明代數數域中單位數的阿貝爾群的結構。
在數學物理方面，他對橢球體産生的引力、球在不可壓縮流體中的運動、由太陽系穩定性導出的一般穩定性等課題都有重要論着。1850年發表了有關位勢理論的文章，論及著名的第一邊界值問題，現稱狄裡克雷問題。
