簡介
在集合論中對無窮有不同的定義。德國數學家康托爾提出，對應于不同無窮集合的元素的個數（基數），有不同的“無窮”。
這裡比較不同的無窮的“大小”的時候唯一的辦法就是通過是否可以建立“一一對應關系”來判斷，而抛棄了歐幾裡得“整體大于部分”的看法。例如整數集和自然數集由于可以建立一一對應的關系，它們就具有相同的無窮基數。
自然數集是具有最小基數的無窮集，它的基數用希伯來字母阿列夫右下角标來表示。
可以證明，任何一個集合的幂集（所有子集所形成的集合）的比原集合大，如果原來的基數是a，則幂集的基數記為（2的a次方）。這稱為康托爾定理。
對于兩個無窮集合，可以以能否建立它們之間的雙射，作為比較其大小的标準。
确切地講，我們用基數的概念來描述集合，對于有限集合而言，可以認為它的基數就是元素的個數，但對無窮集而言，基數隻能以下面的方式理解（當然也可以據此把無窮集合的基數說成是它元素的個數，但這個個數已經不是日常用語中的意思）。
如果集合A與集合B之間存在雙射（一一對應），就認為它們的基數一樣大；如果A與B的某個子集有雙射，就認為A的基數不比B更大，也就是A到B有單射，B到A有滿射；當A的基數不比B更大，且A、B基數不一樣大時，就認為A比B基數小。
在ZFC集合論的框架下，任何集合都是良序的，從而兩個集的基數總是大于、小于、等于中的一種，不會出現無法比較的情況。但若不包括選擇公理，隻有良序集的基數才能比較。
例如，可數集合，如自然數集，整數集乃至有理數集對應的基數被定義為“阿列夫零”。比可數集合“大”的稱之為不可數集合，如實數集，其基數與自然數的幂集相同，為二的阿列夫零次方，被定義為“阿列夫壹”。
由于一個無窮集合的幂集總是具有比它本身更高的基數，所以通過構造一系列的幂集，可以證明無窮的基數的個數是無窮的。然而有趣的是，無窮基數的個數比任何基數都多，從而它是一個比任何無窮大都要大的“無窮大”，它不能對應于一個基數，否則會産生康托爾悖論的一種形式。
極限的定義
綜述
無窮大量就是在自變量的某個變化過程中，絕對值無限增大的變量或函數。
精确定義
1.設函數f(x)在x0的某一去心鄰域内有定義（或|x|大于某一正數時有定義）。如果對于任意給定的正數M（無論它多麼大），總存在正數δ（或正數X），隻要x适合不等式0<|x-x0|<δ(或|x|>X,即x趨于無窮)，對應的函數值f(x)總滿足不等式|f(x)|>M，則稱函數f(x)為當x→x0(或x→∞)時的無窮大。
在自變量的同一變化過程中，無窮大與無窮小具有倒數關系，即當x→a時f(x)為無窮大，則1/f(x)為無窮小；反之，f(x)為無窮小，且f(x)在a的某一去心鄰域内恒不為0時，1/f(x)才為無窮大。
無窮大記作∞，不可與很大的數混為一談。
2.①如果當x>0且無限增大時，函數f(x)無限趨于一個常數A，則稱當x→+∞時函數f(x)以A為極限.記作
f(x)→A﹙x→+∞﹚.
②如果當x<0且x的絕對值無限增大時，函數f(x)無限趨于一個常數A，則稱當x→－∞時函數f(x)以A為極限.記作
f(x)→A﹙x→－∞﹚
性質
兩個無窮大量之和不一定是無窮大；
有界量與無窮大量的乘積不一定是無窮大（如常數0就算是有界函數）；
有限個無窮大量之積一定是無窮大。
另外，一個數列不是無窮大量，不代表它就是有界的（如，數列1，1/2，3，1/3，……
分類
無窮大分為正無窮大、負無窮大，分别記作+∞、-∞，非常廣泛的應用于數學當中。
基數
簡介
在集合論中對無窮有不同的定義。德國數學家康托爾提出，對應于不同無窮集合的元素的個數（基數），有不同的“無窮”。
這裡比較不同的無窮的“大小”的時候唯一的辦法就是通過是否可以建立“一一對應關系”來判斷，而抛棄了歐幾裡得“整體大于部分”的看法。例如整數集和自然數集由于可以建立一一對應的關系，它們就具有相同的無窮基數。
自然數集是具有最小基數的無窮集，它的基數用希伯來字母阿列夫右下角标0來表示。可以證明，任何一個集合的幂集（所有子集所形成的集合）的比原集合大，如果原來的基數是a，則幂集的基數記為2a（2的a次方）。這稱為康托爾定理。
對于兩個無窮集合，可以以能否建立它們之間的雙射，作為比較其大小的标準。
确切地講，我們用基數的概念來描述集合，對于有限集合而言，可以認為它的基數就是元素的個數，但對無窮集而言，基數隻能以下面的方式理解（當然也可以據此把無窮集合的基數說成是它元素的個數，但這個個數已經不是日常用語中的意思）。
如果集合A與集合B之間存在雙射（一一對應），就認為它們的基數一樣大；如果A與B的某個子集有雙射，就認為A的基數不比B更大，也就是A到B有單射，B到A有滿射；當A的基數不比B更大，且A、B基數不一樣大時，就認為A比B基數小。
在ZFC集合論的框架下，任何集合都是良序的，從而兩個集的基數總是大于、小于、等于中的一種，不會出現無法比較的情況。但若不包括選擇公理，隻有良序集的基數才能比較。
例如，
可數集合，如自然數集，整數集乃至有理數集對應的基數被定義為“阿列夫零”。
比可數集合“大”的稱之為不可數集合，如實數集，其基數與自然數的幂集相同，為二的阿列夫零次方，被定義為“阿列夫壹”。
由于一個無窮集合的幂集總是具有比它本身更高的基數，所以通過構造一系列的幂集，可以證明無窮的基數的個數是無窮的。然而有趣的是，無窮基數的個數比任何基數都多，從而它是一個比任何無窮大都要大的“無窮大”，它不能對應于一個基數，否則會産生康托爾悖論的一種形式。
比較
最大的無窮大是多大呢？答案是沒有盡頭。事實上，(0,1)上的實數可以和正整數的所有子集的集合一一對應：把這些實數寫成二進制，小數點後第n位為1，對應于n在子集中；為0則對應不在子集中。這樣[0,1)上的實數就和正整數的子集有了一一對應，因此實數和正整數集的所有子集的個數一樣多。也可以證明前面所說曲線可以和實數集的幂集有一一對應關系。我們把前面說的所有曲線看成一個集合，他的所有子集的個數又将比這個集合大。這個過程可以一直進行下去，得到越來越大的無窮大。另外還有一個問題，即連續統假設：整數的無窮大和實數的無窮大之間存不存在别的無窮大。也就是說，是否存在比整數基數大，而比實數基數小的無窮基數，也就是與之間有沒有别的基數。更一般的，任給定無窮基數a，在a和2a之間是否有别的基數？這稱為廣義連續統假設。
數學家證明了這樣一個事實：連續統假設無法在ZFC集合論公理下被證明或證僞，換而言之，承認連續統假設将導出一個體系；不承認将導出另外一種體系。連續統假設或其否定均可作為額外的公理。
在集合論裡可以證明，比一個集合基數大的最小基數是存在的，如果你承認連續統假設，那麼可以把改寫成，改寫成，某些書籍正是這麼做的，但是未明确指出這一點。
網上質疑
有人是這樣質疑集合論的：無窮大無窮大"康托時代，建立了對等比較法，認為由于自然數集，可以和偶數集建立一一對應關系，所以自然數和偶數集等勢。又用對角線法，證明實數集比自然數集大。但是對等的方法，隻能在有限集比較中有效。擴展到無限集是不可信的。“問：某班學生人數與教室的凳子數哪個多？最笨但也最顯然的方法是規定每個學生都去坐在凳子上，而且一個學生隻能坐一張凳子。最後，如果有學生沒坐到凳子，那麼便是學生多。如果最後有凳子空着，那麼便是凳子多。”如果是有限數量，可以用一對一的方法比較，無限數量，不行。
假設來個副校長，要求每兩個學生坐一個凳子，然後他檢查了教室一，教室二，教室三......他看到的每個教室都是如此，後面的教室他認為不用檢查了（或根本不可能檢查完——無窮的概念），于是他宣布，本學校凳子數量，正好是學生數量的一半。第二天，又來個副校長，要求每個學生坐一個凳子，然後他檢查了教室一，教室2，教室三......他看到的每個教室都是如此，後面的教室他認為就不用檢查了（根本不可能檢查完——無窮的概念），于是他宣布，本學校凳子數量，正好等于學生數量。兩位自以為是的校長都有可能是對的，也可能是錯的，方法不對。
在有限集的比較過程中，關鍵不在建立了怎樣的對應關系，關鍵在于我們要比較到最後，至少一個集合結束了，而另一個集合中元素數量已經超過對比集合數量，而且還沒結束，我們才能證明一個集合建立的對應關系比另一個集合數量多。"回應：數學的特點是自洽即可，我們可以定義有一一映射為等勢，這與自身并不矛盾。從這個定義出發，人們可以創造豐富的學問。至于如何通俗地理解等勢，等勢和通俗的數量相等有何關系，這不是數學所考慮的範圍。在這個問題中，兩個校長從自身關于有限集的經驗出發，試圖通俗地理解無限集的等勢概念，其所得到的結論都有道理。這隻是通俗地理解數學概念的不同方式罷了，并不意味着等勢概念就是錯誤的，或者說自相矛盾的。順便說一下，從數學專業的角度來看，後來的那個校長的觀點更容易理解。
