基本含義
概率也叫幾率、或然率。它表示某一随機事件可能發生的程度的一個數，不同的概型有各自不同的定義，現代概率論是建立在“概率公理化定義”的基礎上。概率表示一個
事件發生的可能性大小的數，叫做該事件的概率。随機事件出現的可能性的量度。概率論最基本的概念之一。人們常說某人有百分之多少的把握能通過這次考試，某件事發生的可能性是多少，這都是概率的實例。但如果一件事情發生的概率是1/n，不是指n次事件裡必有一次發生該事件，而是指此事件發生的頻率接近于1/n這個數值。
不同闡述
随機事件出現的可能性的量度。概率論最基本的概念之一。人們常說某人有百分之多少的把握能通過這次考試，某件事發生的可能性是多少，這都是概率的實例。
頻率定義
随着人們遇到問題的複雜程度的增加，等可能性逐漸暴露出它的弱點，特别是對于同一事件，可以從不同的等可能性角度算出不同的概率，從而産生了種種悖論。另一方面，随着經驗的積累，人們逐漸認識到，在做大量重複試驗時，随着試驗次數的增加，一個事件出現的頻率，總在一個固定數的附近擺動，顯示一定的穩定性。R.von米澤斯把這個固定數定義為該事件的概率，這就是概率的頻率定義。從理論上講，概率的頻率定義是不夠嚴謹的。A.H.柯爾莫哥洛夫于1933年給出了概率的公理化定義。
嚴格定義
設E是随機試驗，S是它的樣本空間。對于E的每一事件A賦于一個實數，記為P(A)，稱為事件A的概率。這裡P(·)是一個集合函數，P(·)要滿足下列條件：
（1）非負性：對于每一個事件A，有P(A)≥0;
（2）規範性：對于必然事件S，有P(S)=1;
（3）可列可加性：設A1，A2……是兩兩互不相容的事件，即對于i≠j，Ai∩Aj=φ，（i,j=1,2……），則有P（A1∪A2∪……）=P（A1）+P（A2）+……
古典定義
如果一個試驗滿足兩條：
（1）試驗隻有有限個基本結果；
（2）試驗的每個基本結果出現的可能性是一樣的。 這樣的試驗，成為古典試驗。
對于古典試驗中的事件A，它的概率定義為：
P(A)=m/n，n表示該試驗中所有可能出現的基本結果的總數目。m表示事件A包含的試驗基本結果數。這種定義概率的方法稱為概率的古典定義。
統計定義
在一定條件下，重複做n次試驗，nA為n次試驗中事件A發生的次數，如果随着n逐漸增大，頻率nA/n逐漸穩定在某一數值p附近，則數值p稱為事件A在該條件下發生的概率，記做P(A)=p。這個定義成為概率的統計定義。
在曆史上，第一個對“當試驗次數n逐漸增大，頻率nA穩定在其概率p上”這一論斷給以嚴格的意義和數學證明的是早期概率論史上最重要的學者雅各布·伯努利（Jocob Bernoulli，公元1654年～1705年）。
從概率的統計定義可以看到，數值p就是在該條件下刻畫事件A發生可能性大小的一個數量指标。
由于頻率nA/n總是介于0和1之間，從概率的統計定義可知，對任意事件A，皆有0≤P(A)≤1，P(Ω)=1，P(Φ)=0。
Ω、Φ分别表示必然事件（在一定條件下必然發生的事件）和不可能事件（在一定條件下必然不發生的事件）。
性質
性質1．P(Φ)=0.
性質2．（有限可加性）當n個事件A1,…,An兩兩互不相容時： P(A1∪...∪An)=P(A1)+...+P(An)．
性質3．對于任意一個事件A：P(A)=1-P(非A)．
性質4．當事件A,B滿足A包含于B時：P(B-A)=P(B)-P(A)，P(A)≤P(B)．
性質5．對于任意一個事件A，P(A)≤1．
性質6．對任意兩個事件A和B，P(B-A)=P(B)-P(AB)．
性質7．（加法公式）對任意兩個事件A和B，P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)．
生活中的實例
普遍認為，人們對将要發生的機率總有一種不好的感覺，或者說不安全感，俗稱「點背」，下面列出的幾個例子可以形象描述人們有時對機率存在的錯誤的認識：
1. 六合彩：在六合彩（49選6）中，一共有13983816種可能性（參閱組合數學），普遍認為，如果每周都買一個不相同的号，最晚可以在13983816/52（周）=268919年後獲得頭等獎。事實上這種理解是錯誤的，因為每次中獎的機率是相等的，中獎的可能性并不會因為時間的推移而變大。
2. 生日悖論：在一個足球場上有23個人（2×11個運動員和1個裁判員），不可思議的是，在這23人當中至少有兩個人的生日是在同一天的機率要大于50％。
3. 輪盤遊戲：在遊戲中玩家普遍認為，在連續出現多次紅色後，出現黑色的機率會越來越大。這種判斷也是錯誤的，即出現黑色的機率每次是相等的，因為球本身并沒有“記憶”，它不會意識到以前都發生了什麼，其機率始終是 18/37。
4. 三門問題：在電視台舉辦的猜隐藏在門後面的汽車的遊戲節目中，在參賽者的對面有三扇關閉的門，其中隻有一扇門的後面有一輛汽車，其它兩扇門後是山羊。遊戲規則是，參賽者先選擇一扇他認為其後面有汽車的門，但是這扇門仍保持關閉狀态，緊接著主持人打開沒有被參賽者選擇的另外兩扇門中後面有山羊的一扇門，這時主持人問參賽者，要不要改變主意，選擇另一扇門，以使得赢得汽車的機率更大一些？正确結果是，如果此時參賽者改變主意而選擇另一扇關閉著的門，他赢得汽車的機率會增加一倍。
對于M4.三門問題我有個愚見：
參與者的赢得汽車的機率是50%。
因為主持人無論參與者第一次從三扇門挑一扇的時候有沒有中都會開一扇後面是山羊的。并且開了之後還可以讓參賽者挑選。這樣看來，參賽者實際隻需要從兩扇門挑一扇。幾率是1/2。這個中獎幾率不需考慮三扇門的時候的幾率。
n43e120 修訂：概率三選一遊戲，2009-01-12
同樣邏輯的事例：
一個監獄看守從三個罪犯中随機選擇一個予以釋放，其他兩個将被處死。警衛知道哪個人是否會被釋放，但是不允許給罪犯任何關于其狀态的信息。讓我們分别稱為罪犯為X,Y,Z.罪犯X私下問警衛Y或Z哪個會被處死，因為他已經知道他們中至少一個人會死，警衛不能透露任何關于他本人狀态的信息。警衛告訴X,Y将被處死。X感到很高興，因為他認為他或者Z将被釋放，這意味着他被釋放的概率是1/2。他正确嗎？或者他的機會仍然是1/3?
解：
對當事人關鍵的項的概率公式是： 2/3 * 1/2 = 1/3
說明：
2/3 是開始時，選任意一項出錯的概率都是 2/3；則選對的概率是1/3；
接下來，去除了一項；
1/2 此時對當事人進入子事件組，他做的任意選擇，對錯對開。
這裡容易讓人誤以為 接下來，去除任意一項；
--與--
接下來，有意識的去除某一項；（比如說，不帶花的那一項，去除中間第二個數）
不同
接下來，有意識的去除某一項；
--與--
接下來，去除一個錯項；
不同
這些都是相互獨立的事件，
類似的
和在時間上選擇停止生育孩子的點，與生出來的性别的概率，不存在關聯。
TANKTANK98 修正：這裡的幾率是指什麼幾率？
這個問題使得很多人迷糊了，其實這裡存在2個幾率：
1.整個開門事件來說，包括從一開始來說，參賽者的幾率由1/3提高到了2/3，因為有3張門，分别是參賽者選中的（有1/3）
另外2張（各1/3），後來主持人确定一個門沒有車，這樣使得剩下的2張門有車的總幾率提升到了100%，而原來這2張門的總幾率是66%，多出的33%分到了誰頭上？
2.就參賽者從剩下的2張門裡面選一個的時候，他得到車子的幾率是50%。
幾率的對象必須分清楚！是2張門選1張時候的幾率還是從頭至尾的幾率，的确會迷糊人。
"如果此時參賽者改變主意而選擇另一扇關閉著的門，他赢得汽車的機率會增加一倍。" 這種說法。幾率永遠都是50%。
後驗概率會使得下一次反面的幾率大的多。
哈爾威：正如《決勝21點》的男主角所說的“我一定換，因為那是主持人送給我的概率” 事實原因就在這裡選手選擇是随機的（33%的機會為車，66%的機會為羊），但是主持人确要在他選到羊的時候（66%）一定要選擇剩餘的那隻羊！當然這種情況下換的結果隻能是“車”。那麼玩家有在始終選擇換的情況下他隻在自己選中車的時候（33%）才會選到羊。此時你在遊戲獲得車的機會提高了一倍（33%到66%）所以聰明的你如果去參加這個遊戲你會選擇換還是不換呢？我想現在你心裡已經有答案了。
後退思維者，關于三門問題：這是個有前提條件的問題，大家被嚴重的思維混淆了
1、結果：換門，赢取汽車的概率為2/3，不換門，赢取汽車的概念為1/3 （成立）
前提：同一個人玩同一個遊戲3次以上，那麼每次選擇換門的話，赢取汽車的概率為2/3
2、結果：換門與不換門赢取汽車的概率均為1/2 （成立）
前提：同一個人隻有一次機會玩同一個遊戲，那麼在主持人确定一扇門後，他換與不換的概率就是1/2.
2/3和1/2的結果問題就是根本不是同一類别，是概率兩大類别，所謂的2/3概率是相對一個空間，在100次的機會中，你将會有2/3的機會赢取。1/2概率是在限定的情況下，發生的概率，所以是不同的。
概率的兩大類别
古典概率相關
古典概率讨論的對象局限于随機試驗所有可能結果為有限個等可能的情形，即基本空間由有限個元素或基本事件組成，其個數記為n，每個基本事件發生的可能性是相同的。若事件A包含m個基本事件，則定義事件A發生的概率為p（A）＝m／n，也就是事件A發生的概率等于事件A所包含的基本事件個數除以基本空間的基本事件的總個數，這是P.-S.拉普拉斯的古典概率定義，或稱之為概率的古典定義。曆史上古典概率是由研究諸如擲骰子一類賭博遊戲中的問題引起的。計算古典概率，可以用窮舉法列出所有基本事件，再數清一個事件所含的基本事件個數相除，即借助組合計算可以簡化計算過程。
幾何概率相關
幾何概率若随機試驗中的基本事件有無窮多個，且每個基本事件發生是等可能的，這時就不能使用古典概率，于是産生了幾何概率。幾何概率的基本思想是把事件與幾何區域對應，利用幾何區域的度量來計算事件發生的概率，布豐投針問題是應用幾何概率的一個典型例子。
在概率論發展的早期，人們就注意到古典概率僅考慮試驗結果隻有有限個的情況是不夠的，還必須考慮試驗結果是無限個的情況。為此可把無限個試驗結果用歐式空間的某一區域S表示，其試驗結果具有所謂“均勻分布”的性質，關于“均勻分布”的精确定義類似于古典概率中“等可能”隻一概念。假設區域S以及其中任何可能出現的小區域A都是可以度量的，其度量的大小分别用μ(S)和μ(A)表示。如一維空間的長度，二維空間的面積，三維空間的體積等。并且假定這種度量具有如長度一樣的各種性質，如度量的非負性、可加性等。
幾何概率的嚴格定義
設某一事件A（也是S中的某一區域），S包含A，它的量度大小為μ(A)，若以P(A)表示事件A發生的概率，考慮到“均勻分布”性，事件A發生的概率取為：P(A)=μ(A)/μ(S)，這樣計算的概率稱為幾何概率。
若Φ是不可能事件，即Φ為Ω中的空的區域，其量度大小為0，故其概率P(Φ)=0。
獨立試驗序列
假如一串試驗具備下列三條：
（1）每一次試驗隻有兩個結果，一個記為“成功”，一個記為“失敗”，P{成功}=p，P{失敗}=1-p=q；
（2）成功的概率p在每次試驗中保持不變；
（3）試驗與試驗之間是相互獨立的。
則這一串試驗稱為獨立試驗序列，也稱為bernoulli概型。
必然事件與不可能事件
在一個特定的随機試驗中，稱每一可能出現的結果為一個基本事件，全體基本事件的集合稱為基本空間。随機事件（簡稱事件）是由某些基本事件組成的，例如，在連續擲兩次骰子的随機試驗中，用Z，Y分别表示第一次和第二次出現的點數，Z和Y可以取值1、2、3、4、5、6，每一點（Z，Y）表示一個基本事件，因而基本空間包含36個元素。
“點數之和為2”是一事件，它是由一個基本事件（1，1）組成，可用集合｛（1，1）｝表示“點數之和為4”也是一事件，它由（1，3），（2，2），（3，1)3個基本事件組成，可用集合｛（1，3），(3，1)，（2，2)｝表示。如果把“點數之和為1”也看成事件，則它是一個不包含任何基本事件的事件，稱為不可能事件。
在試驗中此事件不可能發生。如果把“點數之和小于40”看成一事件，它包含所有基本事件 ，在試驗中此事件一定發生，所以稱為必然事件。若A是一事件，則“事件A不發生”也是一個事件，稱為事件A的對立事件。實際生活中需要對各種各樣的事件及其相互關系、基本空間中元素所組成的各種子集及其相互關系等進行研究。
【随機事件，基本事件，等可能事件，互斥事件，對立事件】
在一定的條件下可能發生也可能不發生的事件，叫做随機事件。
一次實驗連同其中可能出現的每一個結果稱為一個基本事件。
通常一次實驗中的某一事件由基本事件組成。如果一次實驗中可能出現的結果有n個，即此實驗由n個基本事件組成，而且所有結果出現的可能性都相等，那麼這種事件就叫做等可能事件。
不可能同時發生的兩個事件叫做互斥事件。
必有一個發生的互斥事件叫做對立事件。
性質
性質1．P(Φ)=0.
性質2.（有限可加性）．當n個事件A1，…，An兩兩互不相容時： P(A1∪...∪An)=P(A1)+...+P(An)．
性質3．對于任意一個事件A：P(A)=1-P(非A)．
性質4．當事件A,B滿足A包含于B時：P(B-A)=P(B)-P(A)，P(A)≤P(B)．
性質5．對于任意一個事件A，P(A)≤1．
性質6．對任意兩個事件A和B，P(B-A)=P(B)-P(AB)．
性質7（加法公式）．對任意兩個事件A和B，P(A∪B)=P(A)+P(B)-p(AB)．
（注：A後的數字1，2，．．．，n都表示下标．）
三種屬性
[非負性]：任何事件A，P(A)≥02、[完備性]：P(Ω)=13、[加法法則]如事件A與B不相容，即如果AB=φ，則 P(A+B)=P(A)+P(B)
應用
在自然界和現實生活中，一些事物都是相互聯系和不斷發展的。在它們彼此間的聯系和發展中，根據它們是否有必然的因果聯系，可以分成兩大類：一類是确定性的現象，指在一定條件下，必定會導緻某種确定的結果。如，在标準大氣壓下，水加熱到100攝氏度，就必然會沸騰。事物間的這種聯系是屬于必然性的。
另一類是不确定性的現象。這類現象在一定條件下的結果是不确定的。例如，同一個工人在同一台機床上加工同一種零件若幹個，它們的尺寸總會有一點差異。又如，在同樣條件下，進行小麥品種的人工催芽試驗，各顆種子的發芽情況也不盡相同有強弱和早晚之别等。為什麼在相同的情況下，會出現這種不确定的結果呢？這是因為，我們說的“相同條件”是指一些主要條件來說的，除了這些主要條件外，還會有許多次要條件和偶然因素是人們無法事先預料的。這類現象，我們無法用必然性的因果關系，對現象的結果事先做出确定的答案。事物間的這種關系是屬于偶然性的，這種現象叫做偶然現象，或者叫做随機現象。 概率，簡單地說，就是一件事發生的可能性的大小。
比如：太陽每天都會東升西落，這件事發生的概率就是100%或者說是1，因為它肯定會發生；而太陽西升東落的概率就是0，因為它肯定不會發生。但生活中的很多現象是既有可能發生，也有可能不發生的，比如某天會不會下雨、買東西買到次品等等，這類事件的概率就介于0和100%之間，或者說0和1之間。在日常生活中無論是股市漲跌，還是發生某類事故，但凡捉摸不定、需要用“運氣”來解釋的事件，都可用概率模型進行定量分析。不确定性既給人們帶來許多麻煩，同時又常常是解決問題的一種有效手段甚至唯一手段。
生活中，走在街頭，來來往往的車輛讓人聯想到概率；生産、生活更是離不開概率。在令人心動的彩票搖獎中，概率也同樣指導着我們的實踐。繼股票之後，彩票也成了城鄉居民經濟生活中的一個熱點。據統計，全國100個人中就有3個彩民。通過對北京、上海與廣州3城市居民調查的結果顯示，有50%的居民買過彩票，其中5%的居民成為“職業”(經濟性購買)彩民。“以小博大”的發财夢，是不少彩票購買者的共同心态。那麼，購買彩票真的能讓我們如願以償嗎?以從36個号碼中選擇7個的投注方式為例，看起來似乎并不很難，其實卻是“可望而不可及”的。經計算，投一注的理論中獎概率如下：
由此看出，隻有極少數人能中獎，購買者應懷有平常心，既不能把它作為純粹的投資，更不應把它當成發财之路。 因此，我們在生活和工作中，無論做什麼事都要腳踏實地，對生活中的某些偶然事件要理性的分析、對待。一位哲學家曾經說過：“概率是人生的真正指南”。随着生産的發展和科學技術水平的提高，概率已滲透到我們生活的各個領域。衆所周知的保險、郵電系統發行有獎明信片的利潤計算、招工考試錄取分數線的預測甚至利用腳印長度估計犯人身高等無不充分利用概率知識
如今“降水概率”已經赫然于電視和報端。有人設想，不久的将來，新聞報道中每一條消息旁都會注明“真實概率”，電視節目的預告中，每個節目旁都會寫上“可視度概率”。另外，還有西瓜成熟概率、火車正點概率、藥方療效概率、廣告可靠概率等等。又由于概率是等可能性的表現，從某種意義上說是民主與平等的體現，因此，社會生活中的很多競争機制都能用概率來解釋其公平合理性。
總之，由于随機現象在現實世界中大量存在,概率必将越來越顯示出它巨大的威力。
模糊和概率
1.是否不确定性就是随機性？似然比、概率是否代表了所有的不确定性？
Bayesian camp：概率是一種主觀的先驗知識，不是一種頻率和客觀測量值
Lindley：概率是對不确定性唯一有效并充分的描述，所有其他方法都是不充分的
相似：通過單位間隔[0,1]間的數來表述不确定性，都兼有集合、相關、聯系、分布方面的命題
區别：對待。經典集合論，
代表概率上不可能的事件。而模糊建立在（1）是否總是成立的？考慮能否邏輯上或部分地違背“無矛盾定理”（Aristotle的三個‘思考定理’之一，同時排中定理同一性定理這些都是非黑即白的經典定理。）模糊（矛盾）的産生，就是西方邏輯的結束。（2）是否可以推導條件概率算子？經典集合論中：模糊理論：考慮超集是其子集的子集性程度，這是模糊集合的特有問題。
2.模糊和概率：是否與多少。
模糊是事件發生的程度。随機是事件是否發生的不确定性。
例子：明天有20%的幾率下小雨（包含複合的不确定性）。
停車位問題。
一個蘋果在冰箱裡的概率和半個蘋果在冰箱裡。
事件倒轉，地球演變恢複原點。
模糊是一種确定的不定性（deterministic uncertainty），是物理現象的特性。用模糊代表不确定性的，結果将是震撼的，人們需要重新審視現實模型。
