定義
定理
若事件A1，A2，…構成一個完備事件組且都有正概率，則對任意一個事件B，有如下公式成立：
此公式即為全概率公式。特别地，對于若事任意兩事件A和B，有如下成立：P(B)=P(B|A)P(A)+P(B|Ac)P(Ac)。
應用舉例
我們來看一個簡單的例子：
例：高射炮向敵機發射三發炮彈，每彈擊中與否相互獨立且每發炮彈擊中的概率均為0.3，又知敵機若中一彈，墜毀的概率為0.2，若中兩彈，墜毀的概率為0.6，若中三彈，敵機必墜毀。求敵機墜毀的概率。 n解：設事件B=“敵機墜毀”，事件Ai(i=0,1,2,3)。iAi(i=0,1,2,3)。i 是中彈數量 ,那麼事件B發生的概率可以分解為 P(B|A0)、P(B|A1)、P(B|A2)、P(B|A3)P(B|A0)、P(B|A1)、P(B|A2)、P(B|A3) 四個概率的和，求解過程：n(1) 求 AiAi 的概率nP(A0)=0.7×0.7×0.7=0.343P(A0)=0.7×0.7×0.7=0.343 nP(A1)=(0.3×0.7×0.7)+(0.7×0.3×0.7)+(0.7×0.7×0.3)=0.441P(A1)=(0.3×0.7×0.7)+(0.7×0.3×0.7)+(0.7×0.7×0.3)=0.441 nP(A2)=(0.3×0.3×0.7)+(0.3×0.7×0.3)+(0.7×0.3×0.3)=0.189P(A2)=(0.3×0.3×0.7)+(0.3×0.7×0.3)+(0.7×0.3×0.3)=0.189 nP(A3)=0.3×0.3×0.3=0.027P(A3)=0.3×0.3×0.3=0.027n(2) 求各個AiAi 發生情況下B發生的概率nP(B|A0)=0.343×0=0P(B|A0)=0.343×0=0 nP(B|A1)=0.441×0.2=0.0882P(B|A1)=0.441×0.2=0.0882 nP(B|A2)=0.189×0.6=0.1134P(B|A2)=0.189×0.6=0.1134 nP(B|A3)=0.027×1=0.027P(B|A3)=0.027×1=0.027n(3) 将各個情況下B發生的概率相加 nP(B)=0+0.0882+0.1134+0.027=0.2286P(B)=0+0.0882+0.1134+0.027=0.2286
全概率公式和Bayes公式
概率論的一個重要内容是研究怎樣從一些較簡單事件概率的計算來推算較複雜事件的概率，全概率公式和Bayes公式正好起到了這樣的作用。對一個較複雜的事件A，如果能找到一伴随A發生的完備事件組B1、B2```，而計算各個B的概率與條件概率P(A/Bi)相對又要容易些，這是為了計算與事件A有關的概率，可能需要使用全概率公式和Bayes公式。
