基本定義
區間估計，是參數估計的一種形式。1934年，由統計學家J.奈曼所創立的一種嚴格的區間估計理論。區間估計又稱為置信區間估計。置信系數是這個理論中最為基本的概念。通過從總體中抽取的樣本，根據一定的正确度與精确度的要求，構造出适當的區間，以作為總體的分布參數(或參數的函數)的真值所在範圍的估計。
用數軸上的一段距離或一個數據區間，表示總體參數的可能範圍.這一段距離或數據區間稱為區間估計的置信區間。
出發點
區間估計（intervalestimation）是從點估計值和抽樣标準誤差出發，按給定的概率值建立包含待估計參數的區間.其中這個給定的概率值稱為置信度或置信水平(confidencelevel），這個建立起來的包含待估計參數的區間稱為置信區間（confidenceinterval），指總體參數值落在樣本統計值某一區内的概率；而置信區間是指在某一置信水平下，樣本統計值與總體參數值間誤差範圍。置信區間越大，置信水平越高。劃定置信區間的兩個數值分别稱為置信下限(lowerconfidencelimit,lcl）和置信上限（upperconfidencelimit,ucl)
常見形式
簡介
區間估計，區間估計的區間上、下界通常形式為：“點估計±誤差”
“總體均值”的區間估計
符号假設
總體均值：μ
總體方差：σ
樣本均值：x*=(1/n）×Σ（Xi)
樣本方差：s*=(1/(n-1））×Σ（Xi-x*)^2
置信水平：1-α
顯著水平：α
問題
已知n個樣本數據Xi(i=1,2,...,n），如何估計總體的均值?
首先，引入記号：
σ'=σ/sqrt(n)
s'=s*/sqrt(n)
然後，分情況讨論：
情況1小樣本（n<30），σ已知，此時區間位于x*±z（α/2）×σ'
情況2小樣本（n<30），σ未知，此時區間位于x*±t（α/2）×s'
情況3大樣本（n≥30），σ已知，此時區間位于x*±z（α/2）×σ'
情況4大樣本（n≥30），σ未知，此時區間位x±z（α/2）×s'
其中，z（α/2）表示：正态分布的水平α的分位數
t（α/2）表示：T分布的水平α的分位數
正文
形式
參數估計的一種形式。通過從總體中抽取的樣本，根據一定的正确度與精确度的要求，構造出适當的區間，以作為總體的分布參數（或參數的函數）的真值所在範圍的估計。例如，估計一種藥品所含雜質的比率在1～2%之間；估計一種合金的斷裂強度在1000～1200千克之間，等等。在有的問題中，隻需要對未知量取值的上限或下限作出估計。如前例中，一般隻對上限感興趣，而在第二例中，則隻對下限感興趣。
構造
區間估計是數理統計中的一個重點和難點。在數理統計學中，待估計的未知量是總體分布的參數θ或θ的某個函數g（θ）。區間估計問題可一般地表述為：要求構造一個僅依賴于樣本X=(x1,x2，…，xn）的适當的區間【A(X),B(X）】，一旦得到了樣本X的觀測值尣，就把區間【A（尣），B（尣）】作為θ或g（θ）的估計。至于怎樣的區間才算是“适當”，如何去構造它，則與所依據的原理和準則有關。這些原理、準則及構造區間估計的方法，便是區間估計理論的研究對象。
區間理論
這是1934年，由統計學家J.奈曼所創立的一種嚴格的區間估計理論。置信系數是這個理論中最為基本的概念。
置信系數奈曼以概率的頻率解釋為出發點，認為被估計的θ是一未知但确定的量，而樣本X是随機的。區間【A(X），B(X）】是否真包含待估計的θ，取決于所抽得的樣本X。因此，區間【A(X),B(X）】隻能以一定的概率包含未知的θ。對于不同的θ，π（θ）之值可以不同，π（θ）對不同的θ取的最小值1-α（0<；α<1）稱為區間【A(X），B(X）】的置信系數。與此相應，區間【A(X），B(X）】稱為θ的一個置信區間。這個名詞在直觀上可以理解為：對于“區間【A(X),B(X）】包含θ”這個推斷，可以給予一定程度的相信，其程度則由置信系數表示。
對θ的上、下限估計有類似的概念，以下限為例，稱A(X）為θ的一個置信下限，若一旦有了樣本X，就認為θ不小于A(X），或者說，把θ估計在無窮區間【A(X），∞）内。"θ不小于A(X)"這論斷正确的概率為θ）。π1（θ）對不同的θ取的最小值1-α（0<；α<1）稱為置信下限A(X）的置信系數。
在數理統計中，常稱不超過置信系數的任何非負數為置信水平。
優良準則
置信系數1-α反映了置信區間【A(X),B(X）】的可靠程度，1-α愈大，【A(X),B(X）】用以估計θ時，犯錯誤（即θ并不在【A(X），B(X）】之内）的可能性愈小。但這隻是問題的一個方面。為了使置信區間【A(X),B(X）】在實際問題中有用，它除了足夠可靠外，還應當足夠精确。比如說，估計某個人的年齡在5至95歲之間，雖十分可靠，但太不精确，因而無用。通常指定一個很小的正數α（一般，α取0.10,0.05，0.01等值），要求置信區間【A(X),B(X）】的置信系數不小于1-α，在這個前提下使它盡可能地精确。對于“精确”的不同的解釋，可以導緻種種優良性标準。比較重要的有兩個：一是考慮區間的長度B(X)-A(X）愈小愈好。這個值與X有關，一般用其數學期望Eθ（B(X)-A(X））作為衡量置信區間【A(X),B(X）】精确程度的指标。這個指标愈小，置信區間的精确程度就愈大。另一個是考慮置信區間【A(X),B(X）】包含假值（指任何不等于被估計的θ的值）θ┡的概率，它愈小，【A(X),B(X）】作為θ的估計的精度就愈高。
如果A(X）是θ的置信下限，則在保證A(X）的置信系數不小于1-α的前提下，A(X）愈大，精确程度愈高。這也可以用【A(X），∞）包含假值θ┡（θ┡<；θ）的概率來衡量，此概率愈小，置信下限A(X）的精确程度愈高。對置信上限有類似的結果，若在某個準則下，一個置信區間（或上、下限）比其他置信區間都好，則稱它為在這個準則下是一緻最優的。例如，在上述準則下，置信系數1-α的一緻最優置信下限A(X）定義為：A(X）有置信系數1-α，且對任何有置信系數1-α的置信下限A1(X），當θ┡<；θ時，成立
置信區間
有時，對所考慮的置信區間（或上、下限）加上某種一般性限制，在這個前提下尋找最優者。無偏性是經常用的限制之一，如果一個置信區間（上、下限）包含真值θ的概率，總不小于包含任何假值θ┡的概率，則稱該置信區間（上、下限）是無偏的。同變性（見統計決策理論）也是一個常用的限制。
求置信區間的方法最常用的求置信區間及置信上、下限的方法有以下幾種。
一種是利用已知的抽樣分布（見統計量）。例如，設x1,x2，…，xn為正态總體N（μ，σ2）（見正态分布）中抽出的樣本，要作μ的區間估計，記，·則服從自由度為n-1的t分布。指定α>0，找這個分布的上α/2分位數tα/2(n-1），則有
即
由此得到μ的一個置信系數為1-α的置信區間。類似地可以定出μ的置信系數為1-α的置信上、下限分别為。
假設檢驗
另一種是利用區間估計與假設檢驗的聯系，設要作θ的置信系數為1－α的區間估計，對于任意的θ0，考慮原假設H：θ=θ0，備擇假設為K：θ≠θ0。設有一水平為α的檢驗，它當樣本X屬于集合A(θ0）時接受H。若集合{θ0∶X∈A（θ0)}是一個區間，則它就是θ的一個置信區間，其置信系數為1-α。就上例而言，對假設H：μ=μ0的檢驗常用t檢驗：當時接受μ=μ0，集合即為區間這正是前面定出的μ的置信區間。若要求θ的置信下限（或上限），則取原假設為θ≤θ0（或θ≥θ0），備擇假設為θ>；θ0（或θ<；θ0），按照同樣的方法可得到所要求的置信下（上）限。
還有一種方法是利用大樣本理論（見大樣本統計）。例如，設x1,x2，…，xn為抽自參數為p的二點分布（見概率分布）的樣本，當n→∞時，依分布收斂（見概率論中的收斂）于标準正态分布N(0,1），以uα/2記N(0，1）的上α/2分位數，則有。所以，可作為p的一個區間估計，上面的極限值1－α就定義為它的漸近置信系數。
推斷法
20世紀30年代初期，統計學家R.A.費希爾提出了一種構造區間估計的方法，他稱之為信任推斷法。其基本觀點是：設要作θ的區間估計，在抽樣得到樣本X以前，對θ一無所知，樣本X透露了θ的一些信息，據此可以對θ取各種值給予各種不同的“信任程度”，而這可用于對θ作區間估計。例如，設X是從正态總體N（θ，1）中抽出的樣本，則服從标準正态分布N(0,1），由此可知，對任何α
即
費希爾把這個等式解釋為：在抽樣以前，對于θ落在區間内的可能性本來一無所知，通過抽樣，獲得了上述數值，它表達了統計工作者對這個區間的"信任程度",若取b)=-α=uα/2，則得到區間，其信任程度為1-α。即當用上述區間作為θ的區間估計時，對于“它能包含被估計的θ”這一點可給予信任的程度為1-α。
在本例以及其他某些簡單問題中，用費希爾的方法與用奈曼的方法得出一緻的結果。但是，這兩個方法不僅在基本觀點上不一緻，而且在較複雜的問題中，所得出的結果也不同。一個著名的例子是所謂的費希爾－貝倫斯問題：設兩個正态分布μ1，μ2，σ娝，σ娤都未知，要求μ1-μ2的區間估計。費希爾用他的方法提供了一個與奈曼理論不一緻的解法，奈曼在1941年曾對此進行了詳盡的讨論。
方法
（見貝葉斯統計）也是一個重要的構造區間估計的方法。統計決策理論中引進的一些概念和優良性準則，也可用于區間估計。此外序貫方法（見序貫分析）在區間估計中也有了相當的發展。
區域估有時要對兩個或更多的參數θ=（θ1，θ2，…，θk)(k>1），例如正态分布N（μ，σ2）中的μ與σ2，同時進行估計；這時，每當有樣本X，就由X在θ的取值的k維空間Rk内定出一個區域Q(X），而把θ估計在Q(X）内。這種估計叫做區域估計。所用區域一般為比較簡單的幾何形狀，如長方體、球或橢球等。關于區域估計的置信系數、優良性準則及其求法等，與區間估計情況相似。
容忍限與容忍區間這是一個與區間估計有密切聯系的概念，但處理的問題不同。給定β，у，0<；β<1,0<；у<1，以F記總體分布。若T(X）為一統計量，滿足條件，則T(X）為總體分布F的上（β，у）容忍限。類似地可定義下（β，у）容忍限。若T1(X）和T2(X）為兩個統計量，T1(X）≤T2(X），且，則稱【T1(X），T2(X）】為總體分布的一個（β，у）容忍區間。例如，X是某産品的質量指标，而F為其分布，則（β，у）容忍區間【T1(X),T2(X）】的意義是：至少有1-β的把握斷言“至少有100(1-у）%的産品，其質量指标落在區間【T1(X),T2(X）】之内”。可以說，容忍區間估計的是總體分布的概率集中在何處，而非總體分布參數。
