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在中國大陸，理工科各類專業的學生（數學專業除外，數學專業學數學分析），學的數學較難，課本常稱“高等數學”；文史科各類專業的學生，學的數學稍微淺一些，課本常稱“微積分”。理工科的不同專業，文史科的不同專業，深淺程度又各不相同。研究變量的是高等數學，可高等數學并不隻研究變量。至于與“高等數學”相伴的課程通常有：線性代數（數學專業學高等代數），概率論與數理統計（有些數學專業分開學）。
初等數學研究的是常量與勻變量，高等數學研究的是非勻變量。高等數學（它是幾門課程的總稱）是理、工科院校一門重要的基礎學科，也是非數學專業理工科專業學生的必修數學課,也是其它某些專業的必修課。
作為一門基礎科學，高等數學有其固有的特點，這就是高度的抽象性、嚴密的邏輯性和廣泛的應用性。抽象性和計算性是數學最基本、最顯著的特點，有了高度抽象和統一，我們才能深入地揭示其本質規律，才能使之得到更廣泛的應用。嚴密的邏輯性是指在數學理論的歸納和整理中，無論是概念和表述，還是判斷和推理，都要運用邏輯的規則，遵循思維的規律。所以說，數學也是一種思想方法，學習數學的過程就是思維訓練的過程。人類社會的進步，與數學這門科學的廣泛應用是分不開的。尤其是到了現代，電子計算機的出現和普及使得數學的應用領域更加拓寬，現代數學正成為科技發展的強大動力，同時也廣泛和深入地滲透到了社會科學領域。
簡介
高等數學比初等數學“高等”的數學。廣義地說，初等數學之外的數學都是高等數學，也有将中學較深入的代數、幾何以及簡單的集合論邏輯稱為中等數學，作為小學初中的初等數學與本科階段的高等數學的過渡。通常認為，高等數學是将簡單的微積分學，概率論與數理統計，以及深入的代數學，幾何學，以及他們之間交叉所形成的一門基礎學科，主要包括微積分學，其他方面各類課本略有差異。
初等數學研究的是常量和勻變量，高等數學研究的是勻變量變量。常見的“高等數學”課本通常有這樣一些内容：微積分，高等代數，概率論與數理統計。理工科（數學專業在外）的，深一些；文科的，淺一些。理工科的不同專業，文科的不同專業，深淺程度又各不相同。研究變量的是高等數學。可高等數學并不隻研究變量。
高等數學是高等學校工科本科有關專業學生的一門必修的重要基礎課。通過這門課程的學習，使學生獲得向量代數與空間解析幾何、微積分的基本知識，必要的基礎理論和常用的運算方法，并注意培養學生的運算能力和初步的抽象思維、邏輯推理及空間想象能力，從而使學生獲得解決實際問題能力的初步訓練，為學習後繼課程奠定必要的數學基礎。
高等數學（也稱為微積分）是理、工科院校一門重要的基礎學科。作為一門科學，高等數學有其固有的特點，這就是高度的抽象性、嚴密的邏輯性，複雜的計算性和廣泛的應用性。抽象性是數學最基本、最顯著的特點--有了高度抽象和統一，我們才能深入地揭示其本質規律，才能使之得到更廣泛的應用。嚴密的邏輯性是指在數學理論的歸納和整理中，無論是概念和表述，還是判斷和推理，都要運用邏輯的規則，遵循思維的規律。複雜的計算性是高等數學有繁多的計算對象，衆多的定理，多樣的計算和證明方法，實際應用中複雜的計算量。因此，學好高等數學對我們來說相當重要。然而,很多學生對怎樣才能學好這門課程感到困惑。
學習要領
首先，理解概念。數學中有很多概念。概念反映的是事物的本質,弄清楚了它是如何定義的、有什麼性質，才能真正地理解一個概念。
其次，掌握定理。定理是一個正确的命題，分為條件和結論兩部分。對于定理除了要掌握它的條件和結論以外，還要搞清它的适用範圍，做到有的放矢。
第三，在弄懂例題的基礎上作适量的習題。要特别提醒學習者的是，課本上的例題都是很典型的，有助于理解概念和掌握定理，要注意不同例題的特點和解法法在理解例題的基礎上作适量的習題。作題時要善于總結----不僅總結方法，也要總結錯誤。這樣，作完之後才會有所收獲，才能舉一反三。
第四，理清脈絡。要對所學的知識有個整體的把握，及時總結知識體系，這樣不僅可以加深對知識的理解，還會對進一步的學習有所幫助。
高等數學中包括微積分和立體解析幾何，級數和常微分方程。其中尤以微積分的内容最為系統且在其他課程中有廣泛的應用．微積分的理論是由牛頓和萊布尼茨完成的．（當然在他們之前就已有微積分的應用，但不夠系統）無窮小和極限的概念微積分的基本概念但理解有很大難度。高等數學有兩個特點：1.等價代換。在極限類的計算裡，常等價代換一些因子（這在量的計算中是不可理解），但極限是階的計算。2.如果原函數形式使計算很困難，可使用原函數的積分或微分形式，這是化簡計算的思想。這三個函數之間的關系就是微分方程。
曆史發展
一般認為，16世紀以前發展起來的各個數學學科總的是屬于初等數學的範疇，因而，17世紀以後建立的數學學科基本上都是高等數學的内容。由此可見，高等數學的範疇無法用簡單的幾句話或列舉其所含分支學科來說明。
19世紀以前确立的幾何、代數、分析三大數學分支中，前兩個都原是初等數學的分支，其後又發展了屬于高等數學的部分，而隻有分析從一開始就屬于高等數學。分析的基礎——微積分被認為是“變量的數學”的開始，因此，研究變量是高等數學的特征之一。原始的變量概念是物質世界變化的諸量的直接抽象，現代數學中變量的概念包含了更高層次的抽象。如數學分析中研究的限于實變量，而其他數學分支所研究的還有取複數值的複變量和向量、張量形式的，以及各種幾何量、代數量，還有取值具有偶然性的随機變量、模糊變量和變化的（概率）空間——範疇和随機過程。描述變量間依賴關系的概念由函數發展到泛函、變換以至于函子。與初等數學一樣，高等數學也研究空間形式，隻不過它具有更高層次的抽象性，并反映變化的特征，或者說是在變化中研究它。例如，曲線、曲面的概念已發展成一般的流形。按照埃爾朗根綱領，幾何是關于圖形在某種變換群下不變性質的理論，這也就是說，幾何是将各種空間形式置于變換之下來來研究的。
無窮進入數學，這是高等數學的又一特征。現實世界的各種事物都以有限的形式出現，無窮是對他們的共同本質的一種概括。所以，無窮進入數學是數學高度理論化、抽象化的反映。數學中的無窮以潛無窮和實無窮兩種形式出現。在極限過程中，變量的變化是無止境的，屬于潛無窮的形式。而極限值的存在又反映了實無窮過程。最基本的極限過程是數列和函數的極限。數學分析以它為基礎，建立了刻畫函數局部和總體特征的各種概念和有關理論，初步成功地描述了現實世界中的非均勻變化和運動。另外一些形式上更為抽象的極限過程，在别的數學學科中也都起着基本的作用。還有許多學科的研究對象本身就是無窮多的個體，也就說是無窮集合，例如群、環、域之類及各種抽象空間。這是數學中的實無窮。能夠處理這類無窮集合，是數學水平與能力提高的表現。為了處理這類無窮集合，數學中引進了各種結構，如代數結構、序結構和拓撲結構。另外還有一種度量結構，如抽象空間中的範數、距離和測度等，它使得個體之間的關系定量化、數字化，成為數學的定性描述和定量計算兩方面的橋梁。上述結構使得這些無窮集合具有豐富的内涵，能夠彼此區分，并由此形成了衆多的數學學科。
數學的計算性方面。在初等數學中甚至占了主導的地位。它在高等數學中的地位也是明顯的，高等數學除了有很多理論性很強的學科之外，也有一大批計算性很強的學科，如微分方程、計算數學、統計學等。在高度抽象的理論裝備下，這些學科才有可能處理現代科學技術中的複雜計算問題。
除了數學基礎、集合論、數理邏輯這樣一些基礎性學科之外，數學分為初等數學與高等數學兩大部分。它們有共同的基礎，而彼此之間并沒有嚴格的界限。它們都是人類文明在不同發展階段的産物，但并不像某些事物那樣，後發展起來的可以代替古老的，随着人類文明的進步，數學中某些局部的、繁瑣的成果或工作可能被淘汰，而其總體仍然是有用的，并必将向着更加綜合和抽象、結構更多樣化的方向發展下去。
分類
一、函數極限連續
二、一元函數微分學
三、一元函數積分學
四、向量代數與空間解析幾何
五、多元函數微分學
六、多元函數積分學
七、無窮級數
八、常微分方程
主要包括
一、函數與極限分為
常量與變量
函數
函數的簡單性态
反函數
初等函數
數列的極限
函數的極限
無窮大量與無窮小量
無窮小量的比較
函數連續性
連續函數的性質及初等函數函數連續性
二、導數與微分
導數的概念
函數的和、差求導法則
函數的積、商求導法則
複合函數求導法則
反函數求導法則
高階導數
隐函數及其求導法則
函數的微分
三、導數的應用
微分中值定理
未定式問題
函數單調性的判定法
函數的極值及其求法
函數的最大、最小值及其應用
曲線的凹向與拐點
四、不定積分
不定積分的概念及性質
求不定積分的方法
幾種特殊函數的積分舉例
五、定積分及其應用
定積分的概念
微積分的積分公式
定積分的換元法與分部積分法
廣義積分
六、空間解析幾何
空間直角坐标系
方向餘弦與方向數
平面與空間直線
曲面與空間曲線
七、多元函數的微分學
多元函數概念
二元函數極限及其連續性
偏導數
全微分
多元複合函數的求導法
多元函數的極值
八、多元函數積分學
二重積分的概念及性質
二重積分的計算法
三重積分的概念及其計算法
九、常微分方程
微分方程的基本概念
可分離變量的微分方程及齊次方程
線性微分方程
可降階的高階方程
線性微分方程解的結構
二階常系數齊次線性方程的解法
二階常系數非齊次線性方程的解法
十、無窮級數
導數的概念
在學習到數的概念之前，我們先來讨論一下物理學中變速直線運動的瞬時速度的問題。
例：設一質點沿x軸運動時，其位置x是時間t的函數，y=f(x)，求質點在t0的瞬時速度？
我們知道時間從t0有增量△t時，質點的位置有增量
這就是質點在時間段△t的位移。因此，在此段時間内質點的平均速度為;
若質點是勻速運動的則這就是在t0的瞬時速度，若質點是非勻速直線運動，則這還不是質點在t0時的瞬時速度。
我們認為當時間段△t無限地接近于0時，此平均速度會無限地接近于質點t0時的瞬時速度，
即：質點在t0時的瞬時速度=
為此就産生了導數的定義，如下：
導數的定義
設函數y=f(x)在點x0的某一鄰域内有定義，當自變量x在x0處有增量△x(x+△x也在該鄰域内)時，相應地
函數有增量
若△y與△x之比當△x→0時極限存在，則稱這個極限值為y=f(x)在x0處的導數。
記為：
還可記為：
函數f(x)在點x0處存在導數簡稱函數f(x)在點x0處可導，否則不可導。
若函數f(x)在區間(a,b)内每一點都可導，就稱函數f(x)在區間(a,b)内可導。這時函數y=f(x)對于區
間(a,b)内的每一個确定的x值，都對應着一個确定的導數，這就構成一個新的函數，
我們就稱這個函數為原來函數y=f(x)的導函數。
注：導數也就是差商的極限
左、右導數
前面我們有了左、右極限的概念，導數是差商的極限，因此我們可以給出左、右導數的概念。
若極限
存在，我們就稱它為函數y=f(x)在x=x0處的左導數。
若極限
存在，我們就稱它為函數y=f(x)在x=x0處的右導數。
注：函數y=f(x)在x0處的左右導數存在且相等是函數y=f(x)在x0處的可導的充分必要條件
