概念
考慮線性方程組Ax=b時，一般當A為低階稠密矩陣時，用主元消去法解此方程組是有效方法。但是，對于由工程技術中産生的大型稀疏矩陣方程組（A的階數很高，但零元素較多，例如求某些偏微分方程數值解所産生的線性方程組），利用叠代法求解此方程組就是合适的，在計算機内存和運算兩方面，叠代法通常都可利用A中有大量零元素的特點。雅克比叠代法就是衆多叠代法中比較早且較簡單的一種，其命名也是為紀念普魯士著名數學家雅可比。
叠代過程
首先将方程組中的系數矩陣A分解成三部分，即：A=L+D+U，如圖1所示，其中D為對角陣，L為下三角矩陣，U為上三角矩陣。
之後确定叠代格式，X^(k+1)=B*X^(k)+f，（這裡^表示的是上标，括号内數字即叠代次數），如圖2所示，其中B稱為叠代矩陣，雅克比叠代法中一般記為J。（k=0,1，......）
再選取初始叠代向量X^(0)，開始逐次叠代。
收斂性
設Ax=b，其中A=D+L+U為非奇異矩陣，且對角陣D也非奇異，則當叠代矩陣J的譜半徑ρ（J）<1時，雅克比叠代法收斂。
優缺點
雅克比叠代法的優點明顯，計算公式簡單，每叠代一次隻需計算一次矩陣和向量的乘法，且計算過程中原始矩陣A始終不變，比較容易并行計算。然而這種叠代方式收斂速度較慢，而且占據的存儲空間較大，所以工程中一般不直接用雅克比叠代法，而用其改進方法。
程序實現示例
#include
#include
#include
main(){
floate=0.001,z,m,a={5,2,1,-1,4,2,2,-3,10},b={-12,20,3},x={0,0,0},y;
intn=3,j,i,k=1;
while(1){
for(i=0;i<3;i++){
for(j=0;j<3;j++)
m=m+a[i][j]*x[j];
m=m-x[i]*a[i][i];
y[i]=(b[i]-m)/a[i][i];
m=0;
}
i=0;
while(i<3){
z=fabs(x[i]-y[i]);
if(z>e)
break;
i++;
}
if(i!=3){
for(i=0;i<3;i++)
x[i]=y[i];
k++;
}
elseif(i==3)
break;
}
printf("%fn%fn%fn",y,y,y);
}
