不等式
設E為Rn中的勒貝格可測集，f(x)，g(x)為E上p(p>1)次實值可積函數，g(x)為E上q(q>...當p=q=2時的赫爾德不等式特别稱為施瓦茲（Schwarz）或柯西（Cauchy）不等式。注意若p=1，規定q=+∞...n
證明
如果||f||p=0，那麼f在μ-幾乎處處為零，且乘積fg在μ-幾乎處處為零，因此赫爾德不等式的左端為零。如果||g||q=0也是這樣。因此，我們可以假設||f||p>0且||g||q>0。
如果||f||p=∞或||g||q=∞，那麼不等式的右端為無窮大。因此，我們可以假設||f||p和||g||q位于(0，∞)内。
如果p=∞且q=1，那麼幾乎處處有|fg|≤||f||∞|g|，不等式就可以從勒貝格積分的單調性推出。對于p=1和q=∞，情況也類似。因此，我們還可以假設p，q∈(1，∞)。
分别用f和g除||f||p||g||q，我們可以假設：n我們現在使用楊氏不等式：n對于所有非負的a和b，當且僅當時等式成立。n兩邊積分，得......n這便證明了赫爾德不等式。
在p∈(1，∞)和||f||p=||g||q=1的假設下，等式成立當且僅當幾乎處處有。
更一般地，如果||f||p和||g||q位于(0，∞)内，那麼赫爾德不等式變為等式，當且僅當存在α，β>0（即α=||g||q且β=||f||p），使得：μ-幾乎處處(*)n||f||p=0的情況對應于(*)中的β=0。||g||q=的情況對應于(*)中的α=0。
