常用定理
正弦定理
a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R(2R在同一個三角形中是恒量,R是此三角形外接圓的半徑)。
變形公式
(1)a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC
(2)sinA:sinB:sinC=a:b:c
(3)asinB=bsinA,asinC=csinA,bsinC=csinB
(4)sinA=a/2R,sinB=b/2R,sinC=c/2R
(5)a/sinA=b/sinB=c/sinC=(a+b)/(sinA+sinB)=(a+b+c)/(sinA+sinB+sinC)
(6)S=1/2bcsinA=1/2acsinB=1/2absinC
餘弦定理
a^2=b^2+c^2-2bccoA
b^2=a^2+c^2-2acB
c^2=a^2+b^2-2abC
注:勾股定理其實是餘弦定理的一種特殊情況。
變形公式
C=(a^2+b^2-c^2)/2ab
B=(a^2+c^2-b^2)/2ac
A=(c^2+b^2-a^2)/2bc
海倫-秦九韶公式
p=(a+b+c)/2(公式裡的p為半周長)
假設有一個三角形,邊長分别為a、b、c,三角形的面積S可由以下公式求得:
S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]
已知三條中線求面積
方法一:已知三條中線Ma,Mb,Mc,
則S=√[(Ma+Mb+Mc)*(Mb+Mc-Ma)*(Mc+Ma-Mb)*(Ma+Mb-Mc)]/3;
方法二:已知三邊a,b,c;
則S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)];其中:p=(a+b+c)/2;
形狀判斷
勾股定理隻适用于直角三角形(外國叫“畢達哥拉斯定理”)a^2+b^2=c^2,其中a和b分别為直角三角形兩直角邊,c為斜邊。勾股弦數是指一組能使勾股定理關系成立的三個正整數。比如:3,4,5。他們分别是3,4和5的倍數。常見的勾股弦數有:3,4,5;6,8,10;5,12,13;10,24,26等等。
題型
正弦定理
已知條件:一邊和兩角(如a、B、C,或a、A、B)
一般解法:由A+B+C=180°,求角A,由正弦定理求出b與c,在有解時,有一解。
餘弦定理
已知條件:兩邊和夾角(如a、b、C)
一般解法:由餘弦定理求第三邊c,由正弦定理求出小邊所對的角,再由A+B+C=180°求出另一角,在有解時有一解。
已知條件:三邊(如a、b、c)
一般解法:由餘弦定理求出角A、B,再利用A+B+C=180°,求出角C在有解時隻有一解。