積分中值定理:數學定律-中文百科頻道

發展簡史

人們對積分中值定理的認識可以上溯到公元前古希臘時代.古希臘數學家在幾何研究中,得到如下結論:“過抛物線弓形的頂點的切線必平行于抛物線弓形的底”,這正是拉格朗日定理的特殊情況.希臘著名數學家阿基米德(Archimedes)正是巧妙地利用這一結論,求出抛物弓形的面積.意大利卡瓦列裡(Cavalieri) 在《不可分量幾何學》(1635年) 的卷一中給出處理平面和立體圖形切線的有趣引理,其中引理3基于幾何的觀點也叙述了同樣一個事實:曲線段上必有一點的切線平行于曲線的弦.這是幾何形式的微分中值定理,被人們稱為卡瓦列裡定理.人們對微分中值定理的研究,從微積分建立之始就開始了。1637年,著名法國數學家費馬(Fermat) 在《求最大值和最小值的方法》中給出費馬定理,在教科書中,人們通常将它稱為費馬定理。1691年,法國數學家羅爾(Rolle) 在《方程的解法》一文中給出多項式形式的羅爾定理。1797年,法國數學家拉格朗日在《解析函數論》一書中給出拉格朗日定理,并給出最初的證明.對微分中值定理進行系統研究是法國數學家柯西(Cauchy) ,他是數學分析嚴格化運動的推動者,他的三部巨著《分析教程》、《無窮小計算教程概論》 (1823年)、《微分計算教程》(1829年),以嚴格化為其主要目标,對微積分理論進行了重構.他首先賦予中值定理以重要作用,使其成為積分學的核心定理。在《無窮小計算教程概論》中,柯西首先嚴格地證明了拉格朗日定理,又在《微分計算教程》中将其推廣為廣義中值定理—柯西定理.從而發現了最後一個積分中值定理。

定理定義

積分中值定理揭示了一種将積分化為函數值，或者是将複雜函數的積分化為簡單函數的積分的方法，是數學分析的基本定理和重要手段，在求極限、判定某些性質點、估計積分值等方面應用廣泛。

驗證推導

若函數在閉區間上連續，則在積分區間上至少存在一個點，使下式成立

其中，滿足: 。

二重積分的中值定理

設在有界閉區域上連續，是的面積，則在内至少存在一點，使得:

定理證明

設在上連續，因為閉區間上連續函數必有最大最小值，不妨設最大值為，最小值為，最大值和最小值可相等。

對兩邊同時積分可得:

同除以從而得到:

由連續函數的介值定理可知，必定，使得，即:

命題得證。

定理推廣

積分中值定理在應用中所起到的重要作用是可以使積分号去掉，或者使複雜的被積函數化為相對簡單的被積函數，從而使問題簡化。因此，對于證明有關題設中含有某個函數積分的等式或不等式，或者要證的結論中含有定積分，或者所求的極限式中含有定積分時，一般應考慮使用積分中值定理，去掉積分号，或者化簡被積函數。

求極限

在函數極限的計算中, 如果含有定積分式, 常常可以運用定積分的相關知識, 比如積分中值定理等, 把積分号去掉。

問題運用

某些帶積分式的函數, 常常會有要求判定某些性質的點的存在的問題, 有時運用積分中值定理能使問題迎刃而解。

運用估計

在大多數的積分式中, 能找到其被積函數的原函數再進行求值的積分簡直是鳳毛麟角, 當被積函數“積不出”或者原函數很複雜時, 可用各種方法來估計積分。對于乘積型的被積函數, 将變化緩慢的部分或積分困難的部分進行估計, 可積的部分積分之。積分中值定理和各種不等式就是其中常用的方法,

不等式證明

積分不等式是指不等式中含有兩個以上積分的不等式,當積分區間相同時,先合并同一積分區間上的不同積分,根據被積函數所滿足的條件,靈靈活運用積分中值定理,以達到證明不等式成立的目的。

在證明定積分不等式時, 常常考慮運用積分中值定理, 以便去掉積分符号, 如果被積函數是兩個函數之積時, 可考慮用積分第一或者第二中值定理。對于某些不等式的證明, 運用原積分中值定理隻能得到“≥”的結論, 或者不等式根本不能得到證明。而運用改進了的積分中值定理之後, 則可以得到“>”的結論, 或者成功的解決問題。