概述
一個n次不可約多項式，如果隻能整除1+Z^2^n-1
而不能整除其它1-Z^L(L<2^n-1)，則這種不可約多項式就稱為本原多項式。
本原多項式的另外一種定義：系數取自GF(p)上，以GF(p^m)上的本原域元素為根的最小多項式。
因為本原多項式一定以n=p^m-1級元素為根，p^m≡1(modn)，所以本原多項式的次數必然是m。
對于一個n次多項式，其本原多項式一般有若幹個。下面将給出的一個算法，是求解在給定任意n值及一個本原多項式的情況下，其餘本原多項式的求解方法。該算法的意義在于提供了同一n值情況下若幹個可選的本原多項式，這樣就允許在構造應用系統時有不同的選擇方案。
已知一個n級本原多項式，求解其餘的本原多項式按以下步驟進行。
(1)首先确定n級本原多項式的個數λ(n)，λ(n)即是n級本原多項式的個數。
(2)求出小于2n－1且與2n－1互素的所有正整數，構成一個集合〔Si〕，并重新排序，使〔Si〕中元素從小到大排列。
(3)排除〔Si〕中不适合的數
排除〔Si〕中形如2j（j為正整數）
排除〔Si〕中所有同宗的數。即從〔Si〕中從後到前搜索，每取一個數即做2K×Si，直到大于2n－1，然後減去2n－1，用差值在〔Si〕中向前搜索，如果有相同的數則将Si排除，否則保留。再取Si－1按同樣過程做一遍，直到S0。
排除〔Si〕中有倍數關系的數。即從〔Si〕中從後到前搜索，每取一數即向前查詢一遍，最後〔Si〕中剩下的數即為本原抽樣數，其個數一定為λ(n)-1。
(4)根據已知的一個n級本原多項式，為其設置初始狀态000…01（n個），求出其M序列{Ai}（長度為2n－1）。
(5)依次從Si中取出本原抽樣數，每取出一個抽樣數Si，即可求出一個本原多項式：以Si對{Ai}進行抽樣，就可産生長度為2n－1的另一M序列{Si}，在{Si}中找到形如000…01（n位）的序列段{Mi}，并提取包括{Mi}為前n項的2n長度的序列：
Am+0，Am+1，…，Am+n-1，
0 0 … 1
Am+n，Am+n+1，…Am+2n-1
X X … X
欲确定的Ci可用下列方程組确定；
C1=Am+n
C2=Am+n+1+C1Am+n
C3=Am+n+2+C1Am+n+1+C2Am+n
常用本原多項式
下表為常用本原多項式：
Matlab中調用本原多項式的指令：
primpoly(m)；
primpoly(m，'all')；
primpoly(m，'all'，'nodisplay')；
注意返回值是按照十進制表示的。
含義
在不同的分支數學，本原多項式有不同的含義：
域論中，一個本原多項式是有限域CF（pm）有限擴張的本原元的最小多項式（域論）。
在代數（特别是環理論），如果一個整系數多項式的所有系數是互數的，則稱它是一個本原多項式，本原多項式對判定不可約多項式有很大的幫助，高次多項式的不可約多項式判定一直是個未完全解決的問題。
有限域的不可約多項式都是本原多項式，這點對通訊編碼和密碼學有重要作用，每個有理系數多項式都能寫成一個有理數與一個本原多項式的乘積。高斯引理（環的）兩個本原多項式的乘積r仍是本原多項式。
