概述
使方程兩邊左右相等的未知數叫做方程的解.
方程解法
一元三次方程的求根公式用通常的演繹思維是作不出來的，用類似解一元二次方程的求根公式的配方法隻能将型如ax^3+bx^2+cx+d+0的标準型一元三次方程形式化為x^3+px+q=0的特殊型。
一元三次方程的求解公式的解法隻能用歸納思維得到，即根據一元一次方程、一元二次方程及特殊的高次方程的求根公式的形式歸納出一元三次方程的求根公式的形式。歸納出來的形如x^3+px+q=0的一元三次方程的求根公式的形式應該為x=A^(1/3)+B^(1/3)型，即為兩個開立方之和。歸納出了一元三次方程求根公式的形式，下一步的工作就是求出開立方裡面的内容，也就是用p和q表示A和B。方法如下：
（1）将x=A^(1/3)+B^(1/3)兩邊同時立方可以得到
（2）x^3=(A+B)+3(AB)^(1/3)(A^(1/3)+B^(1/3))
（3）由于x=A^(1/3)+B^(1/3)，所以（2）可化為
x^3=(A+B)+3(AB)^(1/3)x，移項可得
（4）x^3－3(AB)^(1/3)x－(A+B)＝0，和一元三次方程和特殊型x^3+px+q=0作比較，可知
（5）－3(AB）^（1/3）＝p,－(A+B)=q，化簡得
（6）A+B＝－q，AB＝-（p/3）^3
（7）這樣其實就将一元三次方程的求根公式化為了一元二次方程的求根公式問題，因為A和B可以看作是一元二次方程的兩個根，而(6)則是關于形如ay^2+by+c=0的一元二次方程兩個根的韋達定理，即
（8）y1＋y2＝－（b/a）,y1*y2=c/a
(9)對比（6）和（8），可令A＝y1，B＝y2，q＝b/a，-（p/3）^3＝c/a
(10)由于型為ay^2+by+c=0的一元二次方程求根公式為
y1＝－（b＋（b^2－4ac）^(1/2)）/(2a)
y2＝－（b－（b^2－4ac）^(1/2)）/(2a)
可化為
(11)y1＝－(b/2a)-((b/2a)^2-(c/a))^(1/2)
y2＝－(b/2a)+((b/2a)^2-(c/a))^(1/2)
将(9)中的A＝y1，B＝y2，q＝b/a，-（p/3）^3＝c/a代入（11）可得
(12)A＝－(q/2)-((q/2)^2＋（p/3）^3）^(1/2)
B＝－(q/2)+((q/2)^2＋（p/3）^3）^(1/2)
(13)将A，B代入x=A^(1/3)+B^(1/3)得
(14)x=（－(q/2)-((q/2)^2＋（p/3）^3）^(1/2)）^(1/3)+（－(q/2)+((q/2)^2＋（p/3）^3）^(1/2)）^(1/3)
式(14)隻是一元三方程的一個實根解，按韋達定理一元三次方程應該有三個根，韋達定理最重要的貢獻是對代數學的推進，它最早系統地引入代數符号，推進了方程論的發展，用字母代替未知數，指出了根與系數之間的關系。不過按韋達定理一元三次方程隻要求出了其中一個根，另兩個根就容易求出了。
x^y就是x的y次方
好複雜的說
塔塔利亞發現的一元三次方程的解法
一元三次方程的一般形式是
x3+sx2+tx+u=0
如果作一個橫坐标平移y=x+s/3，那麼我們就可以把方程的二次項消去。所以我們隻要考慮形如x3=px+q的三次方程。
假設方程的解x可以寫成x=a-b的形式，這裡a和b是待定的參數。
代入方程，我們就有a3-3a2b+3ab2-b3=p(a-b)+q
整理得到
a3-b3=(a-b)(p+3ab)+q
由二次方程理論可知，一定可以适當選取a和b，使得在x=a-b的同時，
3ab+p=0。這樣上式就成為a3-b3=q兩邊各乘以27a3，就得到27a6-27a3b3=27qa3
由p=-3ab可知
27a6+p3=27qa3
這是一個關于a3的二次方程，所以可以解得a。進而可解出b和根x。
費拉裡發現的一元四次方程的解法和三次方程中的做法一樣，可以用一個坐标平移來消去四次方程一般形式中的三次項。所以隻要考慮下面形式的一元四次方程：
x4=px2+qx+r
關鍵在于要利用參數把等式的兩邊配成完全平方形式。考慮一個參數a，我們有(x2+a)2=(p+2a)x2+qx+r+a2等式右邊是完全平方式當且僅當它的判别式為0，即q2=4(p+2a)(r+a2)這是一個關于a的三次方程，利用上面一元三次方程的解法，我們可以
解出參數a。這樣原方程兩邊都是完全平方式，開方後就是一個關于x的一元二次方程，于是就可以解出原方程的根x。
最後，對于5次及以上的一元高次方程沒有通用的代數解法(即通過各項系數經過有限次四則運算和乘方和開方運算)，這稱為阿貝耳定理
其他解法
一元三次方程解法
一元三次方程的一般形式是
x3+sx2+tx+u=0
如果作一個橫坐标平移y=x+s/3，那麼我們就可以把方程的二次項消去。所以我們隻要考慮形如x3=px+q的三次方程。
假設方程的解x可以寫成x=a-b的形式，這裡a和b是待定的參數。
代入方程，我們就有
a3-3a2b+3ab2-b3=p(a-b)+q
整理得到
a3-b3 =(a-b)(p+3ab)+q
由二次方程理論可知，一定可以适當選取a和b，使得在x=a-b的同時，3ab+p=0。這樣上式就成為a3-b3=q兩邊各乘以27a3，就得到27a6-27a3b3=27qa3
由p=-3ab可知27a6 + p3 = 27qa3
這是一個關于a3的二次方程，所以可以解得a。進而可解出b和根x。
一元四次方程解法
和三次方程中的做法一樣，可以用一個坐标平移來消去四次方程
一般形式中的三次項。所以隻要考慮下面形式的一元四次方程：
100y=3d+5s+9g關鍵在于要利用參數把等式的兩邊配成完全平方形式。考慮一個參數a，我們有
（x2+a)2 = (p+2a)x2+qx+r+a2
等式右邊是完全平方式當且僅當它的判别式為0，即q2 = 4(p+2a)(r+a2）
這是一個關于a的三次方程，利用上面一元三次方程的解法，我們可以
解出參數a。這樣原方程兩邊都是完全平方式，開方後就是一個關于x的一元二次方程，于是就可以解出原方程的根x。
最後，對于5次及以上的一元高次方程沒有通用的代數解法（即通過各項系數經過有限次四則運算和乘方和開方運算），這稱為阿貝耳定理。
