發展曆程
雖然數數始于結繩計數的遠古時代，由于那時人的智力的發展尚處于低級階段，談不上有什麼技巧。随着人們對于數的了解和研究，在形成與數密切相關的數學分支的過程中，如數論、代數、函數論以至泛函的形成與發展，逐步地從數的多樣性發現數數的多樣性，産生了各種數數的技巧。
由此觀之，組合學與其他數學分支有着必然的密切聯系。它的一些研究内容與方法來自各個分支也應用于各個分支。當然，組合學與其他數學分支一樣也有其獨特的研究問題與方法，它源于人們對于客觀世界中存在的數與形及其關系的發現和認識。例如，中國古代的《易經》中用十個天幹和十二個地支以六十為周期來記載月和年，以及在洛書河圖中關于幻方的記載，是人們至今所了解的最早發現的組合問題甚或是架構語境學。
基本簡介
排列分類：選排列和全排列，可重複排列，不盡相異元素的全排列，環狀排列
組合分類：通常意義的組合，可重複排列
公式
排列的定義及其計算公式：從n個不同元素中，任取m(m≤n,m與n均為自然數,下同）個元素按照一定的順序排成一列，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個排列；從n個不同元素中取出m(m≤n）個元素的所有排列的個數，叫做從n個不同元素中取出m個元素的排列數，用符号A(n,m）表示。A(n,m)=n(n-1）（n-2）……（n-m+1）=n!/(n-m)!此外規定0!=1
組合的定義及其計算公式：從n個不同元素中，任取m(m≤n）個元素并成一組，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個組合；從n個不同元素中取出m(m≤n）個元素的所有組合的個數，叫做從n個不同元素中取出m個元素的組合數。用符号C(n,m)表示。C(n,m)=A(n,m）∧2/m!=A(n,m)/m！；C(n,m)=C(n,n-m）。（其中n≥m)
其他排列與組合公式從n個元素中取出m個元素的循環排列數=A(n,m)/m=n!/m(n-m)!.n個元素被分成k類，每類的個數分别是n1,n2,...nk這n個元素的全排列數為n!/(n1！×n2！×...×nk!).k類元素，每類的個數無限，從中取出m個元素的組合數為C(m+k-1,m）。
符号
C-Combination組合數
A-Arrangement排列數（在舊教材為P-Permutation）
N-元素的總個數
M-參與選擇的元素個數
！-階乘
基本計數原理
⑴加法原理和分類計數法
⒈加法原理：做一件事，完成它可以有n類辦法，在第一類辦法中有m1種不同的方法，在第二類辦法中有m2種不同的方法，……，在第n類辦法中有mn種不同的方法，那麼完成這件事共有N=m1+m2+m3+…+mn種不同方法。
⒉第一類辦法的方法屬于集合A1，第二類辦法的方法屬于集合A2，……，第n類辦法的方法屬于集合An，那麼完成這件事的方法屬于集合A1UA2U…UAn。
⒊分類的要求：每一類中的每一種方法都可以獨立地完成此任務；兩類不同辦法中的具體方法，互不相同（即分類不重）；完成此任務的任何一種方法，都屬于某一類（即分類不漏）。
⑵乘法原理和分步計數法
⒈乘法原理：做一件事，完成它需要分成n個步驟，做第一步有m1種不同的方法，做第二步有m2種不同的方法，……，做第n步有mn種不同的方法，那麼完成這件事共有N=m1×m2×m3×…×mn種不同的方法。
⒉合理分步的要求
任何一步的一種方法都不能完成此任務，必須且隻須連續完成這n步才能完成此任務；各步計數相互獨立；隻要有一步中所采取的方法不同，則對應的完成此事的方法也不同。
二項式定理
(a+b)^n=Σ（0->n)C(in)a^(n-i)b^i
通項公式：a_(i+1）=C(in)a^(n-i)b^i
二項式系數：C(in)
楊輝三角：右圖。兩端是1，除1外的每個數是肩上兩數之和。
系數性質：⑴和首末兩端等距離的系數相等。
⑵當幂指數是奇數時，中間兩項最大且相等。
⑶當幂指數是偶數時，中間一項最大。
⑷奇數項和偶數項總和相同，都是2^(n-1）。
⑸所有系數總和是2^n。
著名問題
計算一些物品在特定條件下分組的方法數目。這些是關于排列、組合和整數分拆的。
地圖着色問題：對世界地圖着色，每一個國家使用一種顔色。如果要求相鄰國家的顔色相異，是否總共隻需四種顔色？這是圖論的問題。
船夫過河問題：船夫要把一匹狼、一隻羊和一棵白菜運過河。隻要船夫不在場，羊就會吃白菜、狼就會吃羊。船夫的船每次隻能運送一種東西。怎樣把所有東西都運過河？這是線性規劃的問題。
中國郵差問題：由中國組合數學家管梅谷教授提出。郵遞員要穿過城市的每一條路至少一次，怎樣行走走過的路程最短？這不是一個NP完全問題，存在多項式複雜度算法：先求出度為奇數的點，用匹配算法算出這些點間的連接方式，然後再用歐拉路徑算法求解。這也是圖論的問題。
任務分配問題（也稱婚配問題）：有一些員工要完成一些任務。各個員工完成不同任務所花費的時間都不同。每個員工隻分配一項任務。每項任務隻被分配給一個員工。怎樣分配員工與任務以使所花費的時間最少？這是線性規劃的問題。
如何構作幻方。
大樂透
概述
定義
公式P是指排列，從N個元素取R個進行排列(即排序)。
公式C是指組合，從N個元素取R個，不進行排列（即不排序）。
排列：從N個不同元素中，任取M（M<=N）個元素，按照一定的順序排成一列，叫做從N個不同元素中取出M個元素的一個排列。
排列數：從N個不同元素中取出M（M<=N）個元素的所有排列的個數，叫做從N個不同元素中取出M個元素的排列數。記作：Pmn
排列數公式：Pmn=n(n-1)(n-2)...(n-m1)
全排列：N個不同元素全部取出的一個排列，叫做N個不同元素的一個全排列。
自然數1到N的連乘積，叫做N的階乘。記作：n!（0!=1）
全排列公式：PNN=n!
排列數公式還可寫成：Pmn=n!/(n-m)!
加法原理：做一件事，完成它可以有N類加法，在第一類辦法中有M1種不同的方法，在第二類辦法中有M2種不同的方法，...，在第N類辦法中有MN種不同的方法。那麼完成這件事共有N=M1M2...MN種不同的方法。
乘法原理：做一件事，完成它需要分成N個步驟，做第一步有M1種不同的方法，做第二步有M2種不同的方法，...，做第N步有MN種不同的方法，那麼完成這件事共有N=M1×M2×...×MN種不同的方法。
C-組合數
P-排列數
N-元素的總個數
R參與選擇的元素個數
！-階乘，如5！=5*4*3*2*1=120
組合：從N個不同元素中，任取M（M<=N）個元素并成一組，叫做從N個不同元素中取出M個元素的一個組合。
排列與元素的順序有關，組合與元素的順序無關。
組合數：從N個不同元素中取出M（M<=N）個元素的所有組合的個數，叫做從N個不同元素中取出M個元素的組合數。記作：Cmn
組合數公式：Cmn=Pmn/Pmm=n(n-1)(n-2)...(n-m1)/m!=n!/m!/(n-m)!
組合性質1：Cmn=Cn-mn(C0n=1)
組合性質2：Cmn1=CmnCm-1n
C-Combination組合
P-Permutation排列
排列的變化
排列的變化，排列數“P”現在已成了“A”，P是舊用法，現在教材上多用A，即Arrangement也就是說，“P33”已成了“A33”.高考、中考也是這樣，希望大家改過來！
小學排列組合公式
1、“Cmn”=“Cm（m-n）”
2、“Cm0（m大于0）”=1
3、“Cm0”“Cm1”......“Cm10”=2的m次方
舉例分析
排列、組合的概念具有廣泛的實際意義，解決排列、組合問題，關鍵要搞清楚是否與元素的順序有關。複雜的排列、組合問題往往是對元素或位置進行限制，因此掌握一些基本的排列、組合問題的類型與解法對學好這部分知識很重要。
排列與組合的區别與聯系：與順序有關的為排列問題，與順序無關的為組合問題。
解決排列組合問題要講究策略，首先要認真審題，弄清楚是排列(有序)還是組合(無序)，還是排列與組合混合問題。其次，要抓住問題的本質特征，準确合理地利用兩個基本原則進行“分類與分步”。
加法原理的特征是分類解決問題，分類必須滿足兩個條件：①類與類必須互斥(不相容)，②總類必須完備(不遺漏)；乘法原理的特征是分步解決問題，分步必須做到步與步互相獨立，互不幹擾并确保連續性。分類與分步是解決排列組合問題的最基本的思想策略，在實際操作中往往是“步”與“類”交叉，有機結合，可以是類中有步，也可以是步中有類。
