概述
微分概念是在解決直與曲的矛盾中産生的，在微小局部可以用直線去近似替代曲線，它的直接應用就是函數的線性化。微分具有雙重意義：它表示一個微小的量，同時又表示一種與求導密切相關的運算。微分是微分學轉向積分學的一個關鍵概念。
微分的思想就是一個線性近似的觀念，利用幾何的語言就是在函數曲線的局部，用直線代替曲線，而線性函數總是比較容易進行數值計算的，因此就可以把線性函數的數值計算結果作為本來函數的數值近似值，這就是運用微分方法進行近似計算的基本思想。
定義
設M為光滑流形，U為M的開集，?U為U上光滑函數代數，p∈U，f∈?U。則f在p的微分為對偶空間T*pM的元，定義為df(p)(v):=v(f)，v∈TpM。
性質
微分為線性映射d:A0(M)→A1(M)。
d(fg)=fdg+gdf。
{dxi(p)}為與{∂/∂xi(p)}對偶的基。
發展曆史
萌芽時期
早在希臘時期，人類已經開始讨論「無窮」、「極限」以及「無窮分割」等概念。這些都是微積分的中心思想；雖然這些讨論從現代的觀點看有很多漏洞，有時現代人甚至覺得這些讨論的論證和結論都很荒謬，但無可否認，這些讨論是人類發展微積分的第一步。
例如公元前五世紀，希臘的德谟克利特（Democritus）提出原子論：他認為宇宙萬物是由極細的原子構成。在中國，《莊子．天下篇》中所言的「一尺之捶，日取其半，萬世不竭」，亦指零是無窮小量。這些都是最早期人類對無窮、極限等概念的原始的描述。
其他關于無窮、極限的論述，還包括芝諾（Zeno）幾個著名的悖論：其中一個悖論說一個人永遠都追不上一隻烏龜，因為當那人追到烏龜的出發點時，烏龜已經向前爬行了一小段路，當他再追完這一小段，烏龜又已經再向前爬行了一小段路。芝諾說這樣一追一趕的永遠重覆下去，任何人都總追不上一隻最慢的烏龜－－當然，從現代的觀點看，芝諾說的實在荒謬不過；他混淆了「無限」和「無限可分」的概念。人追烏龜經過的那段路縱然無限可分，其長度卻是有限的；所以人仍然可以以有限的時間，走完這一段路。然而這些荒謬的論述，開啟了人類對無窮、極限等概念的探讨，對後世發展微積分有深遠的曆史意味。
另外值得一提的是，希臘時代的阿基米德（Archimedes）已經懂得用無窮分割的方法正确地計算一些面積，這跟現代積分的觀念已經很相似。由此可見，在曆史上，積分觀念的形成比微分還要早－－這跟課程上往往先讨論微分再讨論積分剛好相反。
十七世紀的大發展牛頓和萊布尼茨的貢獻
中世紀時期，歐洲科學發展停滞不前，人類對無窮、極限和積分等觀念的想法都沒有什麼突破。中世紀以後，歐洲數學和科學急速發展，微積分的觀念也于此時趨于成熟。在積分方面，一六一五年，開普勒（Kepler）把酒桶看作一個由無數圓薄片積累而成的物件，從而求出其體積。而伽利略（Galileo）的學生卡瓦列裡（Cavalieri）即認為一條線由無窮多個點構成；一個面由無窮多條線構成；一個立體由無窮多個面構成。這些想法都是積分法的前驅。
在微分方面，十七世紀人類也有很大的突破。費馬（Fermat）在一封給羅貝瓦（Roberval）的信中，提及計算函數的極大值和極小值的步驟，而這實際上已相當于現代微分學中所用，設函數導數為零，然後求出函數極點的方法。另外，巴羅（Barrow）亦已經懂得透過「微分三角形」（相當于以dx、dy、ds為邊的三角形）求出切線的方程，這和現今微分學中用導數求切線的方法是一樣的。由此可見，人類在十七世紀已經掌握了微分的要領。
然而，直至十七世紀中葉，人類仍然認為微分和積分是兩個獨立的觀念。就在這個時候，牛頓和萊布尼茨将微分及積分兩個貌似不相關的問題，透過「微積分基本定理」或「牛頓－萊布尼茨公式」聯系起來，說明求積分基本上是求微分之逆，求微分也是求積分之逆。這是微積分理論中的基石，是微積分發展一個重要的裡程碑。
多元型
當自變量為多個時，可得出多元微分的定義。一元微分又叫常微分。
一元型
定義
設函數y=f(x)在x的鄰域内有定義，x及x+Δx在此區間内。如果函數的增量Δy=f(x+Δx)-f(x)可表示為Δy=AΔx+o(Δx)（其中A是不随Δx改變的常量，但A可以随x改變），而o(Δx)是比Δx高階的無窮小（注：o讀作奧密克戎，希臘字母）那麼稱函數f(x)在點x是可微的，且AΔx稱作函數在點x相應于因變量增量Δy的微分，記作dy，即dy=AΔx。函數的微分是函數增量的主要部分，且是Δx的線性函數，故說函數的微分是函數增量的線性主部（△x→0）。
通常把自變量x的增量Δx稱為自變量的微分，記作dx，即dx=Δx。于是函數y=f(x)的微分又可記作dy=f'(x)dx。函數因變量的微分與自變量的微分之商等于該函數的導數。因此，導數也叫做微商。
當自變量X改變為X+△X時，相應地函數值由f(X)改變為f(X+△X)，如果存在一個與△X無關的常數A，使f(X+△X)-f(X)和A·△X之差是△X→0關于△X的高階無窮小量，則稱A·△X是f(X)在X的微分，記為dy，并稱f(X)在X可微。一元微積分中，可微可導等價。記A·△X=dy，則dy=f′(X)dX。例如：d(sinX)=cosXdX。
微分概念是在解決直與曲的矛盾中産生的，在微小局部可以用直線去近似替代曲線，它的直接應用就是函數的線性化。微分具有雙重意義：它表示一個微小的量，因此就可以把線性函數的數值計算結果作為本來函數的數值近似值，這就是運用微分方法進行近似計算的基本思想。
推導
設函數y=f(x)在某區間内有定義，x0及x0+△x在這區間内，若函數的增量Δy=f(x0+Δx)−f(x0)可表示為Δy=AΔx+o(Δx)，其中A是不依賴于△x的常數，o(Δx)是△x的高階無窮小，則稱函數y=f(x)在點x0是可微的。AΔx叫做函數在點x0相應于自變量增量△x的微分，記作dy，即：dy=AΔx。微分dy是自變量改變量△x的線性函數，dy與△y的差是關于△x的高階無窮小量，我們把dy稱作△y的線性主部。得出：當△x→0時，△y≈dy。導數的記号為：(dy)/(dx)=f′(X)，我們可以發現，它不僅表示導數的記号，而且還可以表示兩個微分的比值（把△x看成dx，即：定義自變量的增量等于自變量的微分），還可表示為dy=f′(X)dX。
幾何意義
設Δx是曲線y=f(x)上的點M的在橫坐标上的增量，Δy是曲線在點M對應Δx在縱坐标上的增量，dy是曲線在點M的切線對應Δx在縱坐标上的增量。當|Δx|很小時，|Δy－dy|比|Δx|要小得多(高階無窮小)，因此在點M附近，我們可以用切線段來近似代替曲線段。
高元型
當自變量是多元變量時，導數的概念已經不适用了（盡管可以定義對某個分量的偏導數），但仍然有微分的概念。
定義
設f是從歐幾裡得空間（或者任意一個内積空間）中的一個開集射到的一個函數。對于中的一點x及其在 中的鄰域中的點x+h。如果存在線性映射A使得對任意這樣的x+h,
如果f在點x處可微，那麼它在該點處一定連續，而且在該點的微分隻有一個。為了和偏導數區别，多元函數的微分也叫做全微分或全導數。
當函數在某個區域的每一點x都有微分時，可以考慮将x映射到的函數：
這個函數一般稱為微分函數。
性質
如果f是線性映射，那麼它在任意一點的微分都等于自身。
在Rn（或定義了一組标準基的内積空間）裡，函數的全微分和偏導數間的關系可以通過雅可比矩陣刻畫：
設f是從Rn射到Rm的函數，f=(f1,f2,...fm)，那麼：
具體來說，對于一個改變量：微分值：
可微的必要條件：如果函數f在一點x_0處可微，那麼雅克比矩陣的每一個元素都存在，但反之不真。
可微的充分條件：如果函數f在一點x_0的雅克比矩陣的每一個元素frac{partial f_i}{partial x_j}(x_0)都在x_0連續，那麼函數在這點處可微，但反之不真。
例子
函數：是一個從R2射到R3的函數。它在某一點(x, y)的雅可比矩陣為：
微分為：也就是：
我們對函數y進行微分，得出導，由于微分隻進行了一次，所以又被稱為一階導數。
這時，我們微分，得出，那麼被稱為二階導數。
同理，我們可以得到三次導數及更高次的導數，（n > 2）被稱為n階導數。
切線微分
當自變量為固定值
需要求出曲線上一點的斜率時，前人往往采用作圖法，将該點的切線畫出，以切線的斜率作為該點的斜率。然而，畫出來的切線是有誤差的，也就是說，以作圖法得到的斜率并不是完全準确的斜率。微分最早就是為了從數學上解決這一問題而産生的。
以y=x2為例，我們需要求出該曲線在(3,9)上的斜率，當△x與△y的值越接近于0，過這兩點直線的斜率就越接近所求的斜率m，當△x與△y的值變得無限接近于0時，直線的斜率就是點的斜率。
當x = 3 +Δx 時，y = 9+ Δy，也就是說，
（展開）
（兩邊減去9）
（兩邊除以△x）
當自變量為任意值
從二次函數到幂函數
通過以上的方法，我們可以得出x的二次函數在任意一點上的斜率，但是這遠遠不夠。我們需要把這種方法擴充到所有的幂函數。
從幂函數到單項式
當函數為單項式（a和n為常數）的形式時，有基本公式：
注意：基本公式極為重要，在學習更為複雜的運算法則前請務必牢記。
多項式
運算法則
基本法則
連鎖律
乘法律
除法律
導數
導數一
正弦函數的導數
假設正弦函數y=sin x（x的單位為弧度）上有一點(x,y)和另一點(x+δx,y+δy)：
d/dx(sin x)
=limδx→0 δy/δx
=limδx→0 [sin (x+δx)-sin x]/δx
=limδx→0 2[cos 0.5(2x+δx)][sin 0.5(δx)]/δx （sin A-sin B=2[cos 0.5(A+B)][sin 0.5(A-B)]）
=limδx→0 [cos 0.5(2x+δx)][sin 0.5(δx)]/0.5δx （兩邊除以2）
=limδx→0 [cos 0.5(2x+δx)]×[sin 0.5(δx)]/0.5δx
=limδx→0 [cos 0.5(2x+δx)]×limδx→0 [sin 0.5(δx)]/0.5δx
=cos 0.5(2x)×1 （limθ→0 (sin θ)/θ=1）
=cos x
最後得出d/dx(sin x)=cos x。
餘弦函數的導數
我們知道cos x=sin(π/2-x)，所以d/dx(cos x)=d/dx[sin (π/2-x)]。
假設π/2-x=u，我們可以用連鎖律對餘弦函數y=cos x求導：
d/dx(cos x)
=d/dx[sin (π/2-x)]
=d/du[sin (π/2-x)]×d/dx(π/2-x) （連鎖律）
=cos (π/2-x)×(-1) （d/dx(sin x)=cos x）
=-cos (π/2-x)
=-sin x （cos (π/2-x)=sin x）
最後得出d/dx(cos x)=-sin x。
正切函數的導數
由于正切函數tan x=(sin x)/(cos x)，我們可以用除法律對其求導：
d/dx(tan x)
=d/dx[(sin x)/(cos x)] （tan x=(sin x)/(cos x)）
=[(cos x)d/dx(sin x)-(sin x)d/dx(cos x)]/(cos^2 x) （除法律）
=[cos^2 x-(sin x)(-sin x)]/cos^2 x
=(cos^2 x+sin^2 x)/cos^2 x
=1/cos^2 x
=sec^2 x
最後得出d/dx(tan x)=sec^2 x。
三角函數的應用1
當我們遇到y=sin/cos/tan u（u是自變量為x的函數且常為ax+b的形式）這類函數的時候，可以使用連鎖律求導：
①y=sin u
d/dx(sin u)
=(dy/du)(du/dx) （連鎖律）
=(cos u)(du/dx)
當u的形式為ax+b時，du/dx=a，所以：
d/dx[sin(ax+b)]=a[cos(ax+b)]
②y=cos
當u的形式為ax+b時，du/dx=a，所以：
d/dx[cos(ax+b)]=-a[sin(ax+b)]
③y=tan u
d/dx(tan u)
=(dy/du)(du/dx) （連鎖律）
=(sec^2 u)(du/dx)
當u的形式為ax+b時，du/dx=a，所以：
d/dx[tan(ax+b)]=a[sec^2(ac+b)]
三角函數的應用2
有時我們需要對y=sin^n x或y=cos^n x（n為常數）這類函數求導，使用連鎖律也可以解決：
這裡我們使用“連鎖律的應用1”中得到的公式：d/dx(y^n)=[ny^(n-1)](dy/dx)
①y=sin^n x
dy/dx
=n[sin^(n-1) x]d/dx(sin x)
=n[sin^(n-1) x](cos x)
②y=cos^n x
dy/dx
=n[cos^(n-1) x]d/dx(cos x)
=-n[cos^(n-1) x](sin x)
得出公式：
d/dx(sin^n x)=n[sin^(n-1) x](cos x)
d/dx(cos^n x)=-n[cos^(n-1) x](sin x
導數二
自然指數函數的導數
在畫圖軟件裡，我們可以看出在函數y=e^x上任意一點(x,y)的斜率均等于y。也就是說，m=dy/dx=y。
因此，函數e^x的導數由以下公式獲得
證明：y=e^x,
y+dy=e^(x+dx),
dy=e^(x+dx)-e^x
=e^x(e^dx-1)
=e^x(1+dx+dx^2/2!+……+dx^n/n!-1){e^a=1+a+a^n/n!(n∈N）}
≈dxe^x
∴d/dx(e^x)=e^x
自然指數函數的應用
我們可以使用連鎖律對y=e^u（u是自變量為x的函數）求導：
dy/dx
=(dy/du)(du/dx)（連鎖律）
=[d/du(e^u)](du/dx)
=(e^u)(du/dx)
最後得出：
d/dx(e^u)=(e^u)(du/dx)
如果u的形式為ax+b（a和b均為常數），那麼du/dx=a，可以得出：
d/dx[e^(ax+b)]=ae^(ax+b)
自然對數函數的導數
我們可以通過d/dx(e^x)=e^x對自然對數函數y=ln x求導：
y=ln x
x=e^y
d/dx(x)=d/dx(e^y)
d/dx(x)=d/dy(e^y)(dy/dx)（連鎖律）
d/dx(x)=(e^y)(dy/dx)
(e^y)(dy/dx)=1
x(dy/dx)=1 （x=e^y）
dy/dx=1/x
最後得出：
d/dx(ln x)=1/x
自然對數函數的應用
我們可以使用連鎖律對y=ln u（u是自變量為x的函數）求導：
dy/dx
=(dy/du)(du/dx) （連鎖律）
=[d/du(ln u)](du/dx)
=(1/u)(du/dx)
可以得出：
d/dx(ln u)=(1/u)(du/dx)
如果u的形式為ax+b（a和b均為常數），那麼du/dx=a，可以得出：
d/dx[ln (ax+b)]=a/(ax+b)
特殊導數
三角函數
d/dx(sin x)=cos x
d/dx(cos x)=-sin x
d/dx(tan x)=sec^2 x
d/dx[sin(ax+b)]=a[cos(ax+b)]
d/dx[cos(ax+b)]=-a[sin(ax+b)]
d/dx[tan(ax+b)]=a[sec^2(ax+b)]
d/dx(sin^n x)=n[sin^(n-1) x](cos x)
d/dx(cos^n x)=-n[cos^(n-1) x](sin x)
自然指數函數
d/dx(e^x)=e^x
d/dx(e^u)=(e^u)(du/dx)
d/dx[e^(ax+b)]=ae^(ax+b)
自然對數函數
d/dx(ln x)=1/x
d/dx(ln u)=(1/u)(du/dx)
d/dx[ln (ax+b)]=a/(ax+b)
微分應用
法線
我們知道，曲線上一點的法線和那一點的切線互相垂直，微分可以求出切線的斜率，自然也可以求出法線的斜率。
假設函數y=f(x)的圖象為曲線，且曲線上有一點(x1,y1)，那麼根據切線斜率的求法，就可以得出該點切線的斜率m：
m=dy/dx在(x1,y1)的值
所以該切線的方程式為：
y-y1=m(x-x1)
由于法線與切線互相垂直，法線的斜率為-1/m且它的方程式為：
y-y1=(-1/m)(x-x1)
增函數與減函數
微分是一個鑒别函數（在指定定義域内）為增函數或減函數的有效方法。
鑒别方法：dy/dx與0進行比較，dy/dx大于0時，說明dx增加為正值時，dy增加為正值，所以函數為增函數；dy/dx小于0時，說明dx增加為正值時，dy增加為負值，所以函數為減函數。
例1：分析函數y=x^2-1的增減性
∵y=x^2-1
∴dy/dx=2x
當x>0時，dy/dx>0，所以函數y=x^2-1在x>0時是增函數；
當x<0時，dy/dx<0，所以函數y=x^2-1在x<0時是減函數。
變化的速率
微分在日常生活中的應用，就是求出非線性變化中某一時間點特定指标的變化。
比如說，有一個水箱正在加水，水箱裡水的體積V（升）和時間t（秒）的關系為V=5-2/(t+1)，
在t=3時，我們想知道此時水加入的速率，于是我們算出dV/dt=2/(t+1)^2，代入t=3後得出dV/dt=1/8。
所以我們可以得出在加水開始3秒時，水箱裡的水的體積以每秒1/8升的速率增加。
