定義
如果集合A的任意一個元素都是集合B的元素（任意a∈A則a∈B），那麼集合A稱為集合B的子集，記為A⊆B或 B⊇A，讀作“集合A包含于集合B”或集合B包含集合A”。
即：∀a∈A有a∈B，則A⊆B。
真子集
如果集合A是B的子集，且A≠B，即B中至少有一個元素不屬于A，那麼A就是B的真子集，可記作：A⊊B。
符号語言：若∀a∈A，均有a∈B，且 x∈B使x∉A，則A⊊B。
如圖1所示，集合A就是集合B的真子集。
兩者的包含範圍不同。子集比真子集範圍大，子集是包括本身的元素的集合，真子集是除本身的元素的集合。子集：集合A範圍大于或等于集合B，B是A的子集；真子集：集合A範圍比B大，B是A的真子集。
性質
一、根據子集的定義，我們知道A⊆A。也就是說，任何一個集合是它本身的子集。
二、對于空集∅，我們規定∅⊆A，即空集是任何集合的子集。
說明：若A=∅，則∅⊆A仍成立。
證明：給定任意集合A，要證明∅是A的子集。這要求給出所有∅的元素是A的元素；但是，∅沒有元素。對有經驗的數學家們來說，推論“∅沒有元素，所以∅的所有元素是A 的元素"是顯然的；但對初學者來說，有些麻煩。 因為∅沒有任何元素，如何使"這些元素"成為别的集合的元素？ 換一種思維将有所幫助。
為了證明∅不是A的子集，必須找到一個元素，屬于∅，但不屬于A。 因為∅沒有元素，所以這是不可能的。因此∅一定是A的子集。
三、若A、B、C是集合，則：
自反性：A=A
反對稱性：當且僅當 且時，
傳遞性：若且 ，則
這個命題說明：包含是一種偏序關系。
四、
這個命題說明：對任意集合S，S的幂集按包含排序是一個有界格，與上述命題相結合，則它是一個布爾代數。
五、： 對任意兩個集合 A 和 B，下列所有表述等價：
A ⊆ B
A ∩ B =A
A ∪ B = B
A−B=A (當A∩B=∅) ；A−B=C?(A∩B)（當A∩B≠∅）
B′ ⊆ A′
這個命題說明：表述 "A ⊆ B " 和其他使用并集，交集和補集的表述是等價的，即包含關系在公理體系中是多餘的。
六、假設非空集合A中含有n個元素，則有：
A的子集個數為。
A的真子集的個數為。
A的非空子集的個數為。
A的非空真子集的個數為。
集合運算時的基本概念
1、并集：一般的由屬于集合A或屬于集合B的所有元素組成的集合稱為集合A與B的并集，記作A∪B。
2、交集：一般的有屬于集合A且屬于集合B的所有元素組成的集合，稱為集合A與B的交集，記作A∩B。
3、全集：一般的如果一個集合，還有我們所研究問題中涉及的所有元素，那麼就稱這個集合為全集，通常記作U。
4、補集：對于一個集合A由全集U中不屬于集合A的所有元素組成的集合，稱為集合A相對于全集U的補集，簡稱為集合A的補集。
