定義
子集
一般地，對于兩個集合A、B，如果集合A中任意一個元素都是集合B中的元素，我們就說這兩個集合有包含關系，稱集合A為集合B的子集（subset）。記作A⊆B（或B⊇A），讀作“A包含于B”（或“B包含A”）。
即，對于集合A與B，∀x∈A有x∈B，則A⊆B。可知任一集合A是自身的子集，空集是任一集合的子集。
真子集
如果集合A⊆B，存在元素x∈B，且元素x不屬于集合A，我們稱集合A與集合B有真包含關系，集合A是集合B的真子集（propersubset）。記作A⊊B（或B⊋A），讀作“A包含于B”（或“B包含A”）。
即：對于集合A與B，∀x∈A有x∈B，且∃x∈B且x∉A，則A⊊B。空集是任何非空集合的真子集。
非空真子集：如果集合A⊊B，且集合A≠∅，集合A是集合B的非空真子集（nonvoidpropersubset）。
真子集與子集的區别；
子集就是一個集合中的全部/部分元素是另一個集合中的元素，有可能與另一個集合相等；
真子集就是一個集合中的元素全部是另一個集合中的元素，但不存在相等。
舉例
所有亞洲國家組成的集合是地球上所有國家組成的集合的真子集；所有自然數的集合是所有整數的集合的真子集（即N⫋Z）；{1，3}⫋{1，2，3，4}，{1，2，3}⫋{1，2，3，4}；∅⫋{∅}。但不能說{1，2，3}⫋{1，2，3}。
設全集I為{1，2，3}，則它的子集可以是{1}、{2}、{3}、{1，2}、{1，3}、{2，3}、{1，2，3}、∅；而它的真子集隻能為{1}、{2}、{3}、{1，2}、{1，3}、{2，3}、∅。它的非空真子集隻能為{1}、{2}、{3}、{1，2}、{1，3}、{2，3}。
有關命題
命題1：若集合A有n個元素，則集合A的子集個數為2n，且有2n-1個真子集，2n-2個非空真子集。
證明：設元素編号為1,2,n，每個子集對應一個長度為n的二進制數（規定數的第i位為1表示元素i在集合中，0表示元素i不在集合中。如全集U={e1,e2,e3,e4,e5}，則{e1,e2,e3,e4,e5}↔11111，{e2,e3,e4}↔01110，{e4}↔00010）。即其子集為00，0（n個0）、11，1（n個1）。易知一共有2n個數，因此對應2n個子集。去掉11，1（即表示原來的集合A）則有2n-1個真子集，再去掉00，0（表示空集）則有2n-2個非空真子集。
命題2：空集是任意集合的子集。
證明：給定任意集合A，要證明∅是A的子集。這要求給出所有∅的元素是A的元素；但是∅沒有元素。
對有經驗的數學家們來說，推論“∅沒有元素，所以∅的所有元素是A的元素”是顯然的；但對初學者來說，有些麻煩。換一種思維将有所幫助，為了證明∅不是A的子集，必須找到一個元素，屬于∅，但不屬于A。因為∅沒有元素，所以這是不可能的。因此∅一定是A的子集。
這個命題說明：包含是一種偏序關系。
命題3：若A，B，C是集合，則：
自反性:A⊆A，反對稱性:A⊆B且B⊆A，當且僅當A=B，傳遞性:若A⊆B且B⊆C則A⊆C。這個命題說明：對任意集合S，S的幂集按包含排序是一個有界格，與上述命題相結合，則它是一個布爾代數。
命題4：若A，B，C是集合S的子集，則：
存在一個最小元和一個最大元：∅⊆A⊆S（∅⊆A由命題2給出）。存在并運算:A⊆A∪B若A⊆C且B⊆C則A∪B⊆C存在交運算:A∩B⊆A若C⊆A且C⊆B則C⊆A∩B。這個命題說明：表述"A⊆B"和其他使用并集，交集和補集的表述是等價的，即包含關系在公理體系中是多餘的。
命題5:對任意兩個集合A和B，下列表述等價：A⊆BA∩B=AA∪B=BA−B=B′⊆A′。
