大數法則:概率論曆史上第一個極限定理-中文百科頻道

定義

大數定律(law of large numbers)，又稱大數定理，是一種描述當試驗次數很大時所呈現的概率性質的定律。但是注意到，雖然通常最常見的稱呼是大數“定律”，但是大數定律并不是經驗規律，而是嚴格證明了的定理。有些随機事件無規律可循，但不少是有規律的，這些“有規律的随機事件”在大量重複出現的條件下，往往呈現幾乎必然的統計特性，這個規律就是大數定律。确切的說大數定律是以确切的數學形式表達了大量重複出現的随機現象的統計規律性，即頻率的穩定性和平均結果的穩定性，并讨論了它們成立的條件。

簡單地說，大數定理就是“當試驗次數足夠多時，事件發生的頻率無窮接近于該事件發生的概率”。該描述即貝努利大數定律。

發展曆史

伯努利是第一個研究這一問題的數學家，他于1713年首先提出後人稱之為“大數定律”的極限定理。後來泊松、切比雪夫、馬爾科夫、格涅堅科等衆多的數學家都有重大成就，弱大數定律的研究已經趨于完善，最好的結果是屬于格涅堅科，他找到了弱大數定律成立的充要條件，而且沒有任何獨立性或同分布的要求。在二十世紀初，博雷爾引入測度論的方法之後，将伯努利大數定理推廣到強大數定律開創了強大數定律的研究，之後工作最有成就的屬于柯爾莫哥洛夫，他不但完成了概率的公理化，還找到了獨立同分布下的強大數定律的充要條件。如今，對強大數定律的研究仍然是難題，數學家們在向着不獨立随機變量序列服從強大數定律的條件努力。

舉例說明

例如，在重複投擲一枚硬币的随機試驗中，觀測投擲了n次硬币中出現正面的次數。不同的n次試驗，出現正面的頻率（出現正面次數與n之比）可能不同，但當試驗的次數n越來越大時，出現正面的頻率将大體上逐漸接近于1/2。又如稱量某一物體的重量，假如衡器不存在系統偏差，由于衡器的精度等各種因素的影響，對同一物體重複稱量多次，可能得到多個不同的重量數值，但它們的算術平均值一般來說将随稱量次數的增加而逐漸接近于物體的真實重量。

幾乎處處收斂與依概率收斂不同。生活例子：開始上課了，慢慢地大家都安靜下來，這是幾乎處處收斂。絕大多數同學都安靜下來，但每一個人都在不同的時間不安靜，這是依概率收斂。

數學家

拉普拉斯

拉普拉斯，1749年3月23日生于法國西北部卡爾瓦多斯的博蒙昂諾日，曾任巴黎軍事學院數學教授，1795年任巴黎綜合工科學校教授，後又在高等師範學校任教授。1799年他還擔任過法國經度局局長，并在拿破侖政府中任過6個星期的内政部長，1816年被選為法蘭西學院院士，1817年任該院院長，1827年3月5日卒于巴黎。

拉普拉斯在研究天體問題的過程中，創造和發展了許多數學的方法，以他的名字命名的拉普拉斯變換、拉普拉斯定理和拉普拉斯方程，在科學技術的各個領域有着廣泛的應用。

德莫佛

德莫佛，法文原名 Abraham de Moivre，（1667.05.26法國-1754.11.27英國倫敦），法國數學家。德莫佛對數學最著名的貢獻是德莫佛公式（de Moivre Formula）和德莫佛-拉普拉斯中心極限定理，以及他對正态分布和概率理論的研究。德莫佛還寫了一本概率理論的教科書，The Doctrine of Chances，據說這本書被投機主義者（gambler）高度贊揚。德莫佛是解析幾何和概率理論的先驅之一；他還最早發現了一個二項分布的近似公式，這一公式被認為是正态分布的首次露面。

大數法則又稱“大數定律”或“平均法則”。人們在長期的實踐中發現，在随機現象的大量重複中往往出現幾乎必然的規律，即大數法則。此法則的意義是：風險單位數量愈多，實際損失的結果會愈接近從無限單位數量得出的預期損失可能的結果。據此，保險人就可以比較精确的預測危險，合理的厘定保險費率，使在保險期限内收取的保險費和損失賠償及其它費用開支相平衡。大數法則是近代保險業賴以建立的數理基礎。保險公司正是利用在個别情形下存在的不确定性将在大數中消失的這種規則性，來分析承保标的發生損失的相對穩定性。按照大數法則，保險公司承保的每類标的數目必須足夠大，否則，缺少一定的數量基礎，就不能産生所需要的數量規律。但是，任何一家保險公司都有它的局限性，即承保的具有同一風險性質的單位是有限的，這就需要通過再保險來擴大風險單位及風險分散面。