基礎知識
先介紹平面曲線的有關概念。
定義1 設平面曲線 ，其中 是實的連續函數，那麼曲線C就稱為連續曲線， 分别稱為C的起點與終點，若在 上， 都連續且對每一個t，有 ，那麼曲線C稱為光滑曲線。由幾段依次相接的光滑曲線所組成的曲線稱為逐段光滑曲線。對于滿足 的 與 ，當 且 成立時，點 稱為曲線C的重點。沒有重點的連續曲線C稱為簡單曲線或若爾當(Jardan)曲線。若簡單曲線C的起點與終點重合，即 ，那麼曲線C稱為簡單閉曲線。
任意一條簡單閉曲線C把整個複平面唯一地分成三個互不相交的點集，其中除去C以外，一個是有界區域，稱為C的内部，另一個是無界區域，稱為C的外部，C為它們的公共邊界，簡單閉曲線的這一性質，其幾何直觀意義是很清楚的。
定義2 複平面上的一個區域D，如果在其中任作一條簡單閉曲線，而曲線的内部總屬于D，就稱D為單連通區域；一個區域如果不是單連通區域，就稱為多連通區域。
一條簡單閉曲線的内部是單連通區域，單連通區域D具有這樣的特征：屬于D的任何一條簡單閉曲線，在D内可以經過連續的變形而縮成一點，而多連通區域就不具備這個特征。
一些性質
我們将概述單連通區域的一些性質，這些性質闡明它在全純函數理論中起着重要作用。在這些性質中，(a)和(b)稱為的内拓撲性質；(c)和(d)涉及嵌入s2内的方式；性質(e)到(h)按特征來說是分析性的；(i)是關于環的代數陳述。
定理1 對于一個平面區域，下面九個條件中的每一個蘊涵着其餘的各個條件：
(a)同胚于開單位圓盤U；
(b)是單連通的；
(c)對内每一條閉路徑和對每一個；
(d)是連通的；
(e)每一個能用多項式在的緊子集上一緻逼近；
(f)對每一個和在内每一條閉路徑，
(g)每一個對應一個，使得；
(h)如果且，則存在一個，使得
(i)如果且，則存在一個，使得。
定理2 如果，此處為平面内任意開集，且在内沒有零點，則在内調和。
柯西積分定理
定理3 設在z平面上的單連通區域D内解析，C為D内任意一條圍線，則
推論1 設在單連通區域D内解析，C為D内任意一條閉曲線(C不必為簡單閉曲線)，則。
證明: 由于閉曲線C總可以看成區域D内有限條周線銜接而成。因此，由複積分的曲線可加性及定理2即可得結論。
推論2 設函數在單連通區域D内解析，則在D内的積分與路徑無關，即對D内任意兩點以及D内任意兩條以為起點，為終點的路徑和，總有
